Tính tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 3}}{{x\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}}dx} \)

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 16583:

Vận dụng

Tính tích phân \(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{{x^2} - 3}}{{x\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}}dx} \)

A. \(I = \dfrac{1}{4}\ln 2 - \dfrac{4}{3}\ln 3\)

B. \(I = \dfrac{3}{4}\ln \dfrac{1}{4} + 2\ln \dfrac{8}{5} - \dfrac{5}{4}\ln \dfrac{4}{3}\)

C. \(I = \ln 2 - 5\ln 3 + \dfrac{4}{3}\)

D. \(I = \ln \dfrac{8}{5} - \ln \dfrac{4}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:16583

Giải chi tiết

\(I = \int\limits_{\dfrac{1}{2}}^1 {\dfrac{{\left( {{x^2} - 3} \right)x}}{{{x^2}\left( {{x^4} + 3{x^2} + 2} \right)}}dx} \)

Đặt \(t = {x^2} \Rightarrow dt = 2xdx \Rightarrow xdx = \dfrac{{dt}}{2}\)

Đổi cận: \(x = \dfrac{1}{2} \Rightarrow t = \dfrac{1}{4};\,\,x = 1 \Rightarrow t = 1\)

\( \Rightarrow I = \int\limits_{\dfrac{1}{4}}^1 {\dfrac{{t - 3}}{{t\left( {{t^2} + 3t + 2} \right)}}\dfrac{{dt}}{2}} = \dfrac{1}{2}\int\limits_{\dfrac{1}{4}}^1 {\dfrac{{t - 3}}{{t\left( {{t^2} + 3t + 2} \right)}}dt} \)

Ta có:

\(\dfrac{{t - 3}}{{t\left( {{t^2} + 3t + 2} \right)}} = \dfrac{{t - 3}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} = \dfrac{A}{t} + \dfrac{B}{{t + 1}} + \dfrac{C}{{t + 2}}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow t - 3 = A\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right) + Bt\left( {t + 2} \right) + Ct\left( {t + 1} \right)\\
\Leftrightarrow t - 3 = \left( {A + B + C} \right){t^2} + \left( {3A + 2B + C} \right)t + 2A\\
\Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A + B + C = 0\\
3A + 2B + C = 1\\
2A = - 3
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
A = \dfrac{{ - 3}}{2}\\
B = 4\\
C = - \dfrac{5}{2}
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \dfrac{{t - 3}}{{t\left( {t + 1} \right)\left( {t + 2} \right)}} = - \dfrac{3}{2}.\dfrac{1}{t} + 4.\dfrac{1}{{t + 1}} - \dfrac{5}{2}.\frac{1}{{t + 2}}
\end{array}\)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow I = \dfrac{1}{2}\left[ {\frac{{ - 3}}{2}\int\limits_{\dfrac{1}{4}}^1 {\dfrac{{dt}}{t}} + 4\int\limits_{\dfrac{1}{4}}^1 {\dfrac{{dt}}{{t + 1}}} - \dfrac{5}{2}\int\limits_{\dfrac{1}{4}}^1 {\dfrac{{dt}}{{t + 2}}} } \right]\\
I = \dfrac{1}{2}.\left[ {\left. { - \dfrac{3}{2}\ln \left| t \right|} \right|_{\dfrac{1}{4}}^1 + \left. {4\ln \left| {t + 1} \right|} \right|_{\dfrac{1}{4}}^1\left. { - \dfrac{5}{2}\ln \left| {t + 2} \right|} \right|_{\dfrac{1}{4}}^1} \right]\\
I = \dfrac{1}{2}\left[ { - \dfrac{3}{2}\left( {\ln 1 - \ln \dfrac{1}{4}} \right) + 4\left( {\ln 2 - \ln \dfrac{5}{4}} \right) - \dfrac{5}{2}\left( {\ln 3 - \ln \dfrac{9}{4}} \right)} \right]\\
I = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{3}{2}\ln \dfrac{1}{4} + 4\ln \dfrac{8}{5} - \dfrac{5}{2}\ln \dfrac{4}{3}} \right) = \dfrac{3}{4}\ln \dfrac{1}{4} + 2\ln \dfrac{8}{5} - \dfrac{5}{4}\ln \dfrac{4}{3}
\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.