Tính nguyên hàm I=sin2x.cos4xdx

Trang chủ

Luyện thi đại học môn toán

Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

Câu hỏi số 16637:

Tính nguyên hàm I= $\int$ sin²x.cos⁴xdx

A. I=sin4x- $\frac{5}{4}$ sin6x

B. I=sin3x- $\frac{1}{64}$ sin2x+1

C. I= $\frac{1}{3}$ x+ $\frac{1}{64}$ sin2x- $\frac{1}{64}$ sin4x+C

D. I= $\frac{1}{16}$ x+ $\frac{1}{64}$ sin2x- $\frac{1}{64}$ sin4x- $\frac{1}{192}$ sin6x+C

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:16637

Giải chi tiết

I= $\int$ sin²x.(cos²x)²= $\int$ $\frac{1-cos2x}{2}$ . $(\frac{1+cos2x}{2})^{2}$ dx

= $\frac{1}{8}$ $\int$ (1-cos2x)(1+2cos2x+cos²2x)dx

= $\frac{1}{8}$ $\int$ (1-cos2x)(1+2cos2x+ $\frac{1+cos4x}{2}$ )dx

= $\frac{1}{8}$ $\int$ (1-cos2x)( $\frac{2+4cos2x+1+cos4x}{2}$ )dx

= $\frac{1}{16}$ $\int$ (1-cos2x)(3+4cos2x+cos4x)dx

= $\frac{1}{16}$ $\int$ (3+4cos2x+cos4x-3cos2x-4cos²2x-cos2x.cos4x)dx

= $\frac{1}{16}$ $\int$ (3+cos2x+cos4x-2(1+cos4x)-cos2x.cos4x)dx

= $\frac{1}{16}$ $\int$ [1+cos2x-cos4x- $\frac{1}{2}$ (cos2x+cos6x)]dx

= $\frac{1}{16}$ $\int$ (1+ $\frac{1}{2}$ cos2x-cos4x- $\frac{1}{2}$ cos6x)dx

= $\frac{1}{16}$ $\int$ dx+ $\frac{1}{16}$ . $\frac{1}{2}$ $\int$ cos2xdx- $\frac{1}{16}$ $\int$ cos4xdx- $\frac{1}{16}$ . $\frac{1}{2}$ $\int$ cos6xdx

= $\frac{1}{16}$ x+ $\frac{1}{32}$ . $\frac{1}{2}$ sin2x- $\frac{1}{16}$ . $\frac{1}{4}$ sin4x- $\frac{1}{32}$ . $\frac{1}{6}$ .sin6x+C

= $\frac{1}{16}$ x+ $\frac{1}{64}$ sin2x- $\frac{1}{64}$ sin4x- $\frac{1}{192}$ sin6x+C

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.