Cho hình chóp S.ABC có SA=3a (a>0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng 600 . Tam giác ABC vuông tại B, . G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

Câu hỏi số 16638:

Cho hình chóp S.ABC có SA=3a (a>0); SA tạo với đáy (ABC) một góc bằng

60⁰ . Tam giác ABC vuông tại B, $\small \widehat{ACB}=30^{\circ}$ . G là trọng tâm tam giác ABC. Hai mặt phẳng (SGB) và (SGC) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.

A. $\small V_{S.ABC}=\frac{243a^{3}}{112}$

B. $\small V_{S.ABC}=\frac{81a^{3}}{112}$

C. $\small V_{S.ABC}=\frac{243a^{3}}{56}$

D. $\small V_{S.ABC}=\frac{81a^{3}}{56}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:16638

Giải chi tiết

(hs tự vẽ hình)

Gọi M là trung điểm của BC. Ta có: (SBG) ∩ (SCG) = SG.

(SGB) và (SGC) cùng vuông góc (ABC) => SG vuông góc (ABC)

$\small \widehat{SAG}=60^{\circ}$ , SG là chiều cao của hình chóp S.ABC.

sin $\small \widehat{SAG}=\frac{SG}{SA}$ => SG=SA.sin $\small \widehat{SAG}$ =3a. $\small \frac{\sqrt{3}}{2}$ = $\small \frac{3a\sqrt{3}}{2}$

cos $\small \widehat{SAG}$ = $\small \frac{AG}{SA}$ =>AG=SA.cos $\small \widehat{SAG}$ = $\small \frac{3a}{2}$ (1)

Tam giác ABC vuông tại B, $\small \widehat{ACB}=30^{\circ}$

Đặt AB=x (x>0) => BC=x√3 ; BM= $\small \frac{x\sqrt{3}}{2}$

AM= $\small \sqrt{AB^{2}+BM^{2}}$ $\small \sqrt{AB^{2}+BM^{2}}=\frac{x\sqrt{7}}{2}$

AG= $\small \frac{2}{3}$ AM= $\small \frac{x\sqrt{7}}{3}$ (2)

Từ (1) và(2) suy ra: $\small \frac{3a}{2}$ = $\small \frac{x\sqrt{7}}{3}$

<=>x= $\small \frac{9a}{2\sqrt{7}}$

$\small S_{ABC}=\frac{1}{2}AB.BC=\frac{1}{2}.x^{2}.\sqrt{3}=\frac{81a^{2}\sqrt{3}}{56}$

$\small V_{S.ABC}=\frac{1}{3}.SG.S_{ABC}=\frac{1}{3}.\frac{3a\sqrt{3}}{2}.\frac{81a^{2}\sqrt{3}}{56}=\frac{243a^{3}}{112}$ (đvtt)

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.