Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA

Câu hỏi số 195655:

Thông hiểu

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng ${60^0}$ . Thể tích khối chóp S.ABCD là:

\frac{a^{3} \sqrt{30}}{5}

$\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{5}$

\frac{a^{3} \sqrt{30}}{15}

$\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{{15}}$

\frac{a^{3} \sqrt{30}}{30}

$\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{{30}}$

\frac{a^{3} \sqrt{30}}{6}

$\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:195655

Giải chi tiết

Gọi $O=AC\cap BD$ . Vì chóp S.ABCD là chóp đều nên $SO \bot \left( {ABCD} \right)$

Gọi E là trung điểm của OA $\Rightarrow ME$ là đường trung bình của tam giác SAO $\Rightarrow ME//SO \Rightarrow ME \bot \left( {ABCD} \right)$

$\Rightarrow EN$ là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABCD) $\Rightarrow \widehat {\left( {MN;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MN;EN} \right)} = \widehat {MNE} = {60^0}$

Gọi H là trung điểm của AB ta có: HE; HN lần lượt là đường trung bình của tam giác OAB và tam giác ABC

$\Rightarrow HE//OB;HN//AC$ .

Mà $OB\bot AC\Rightarrow HE\bot HN\Rightarrow \Delta HEN$ vuông tại H

Hình vuông ABCD cạnh a $\Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

Ta có: $HE = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};HN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}$

$\Rightarrow EN = \sqrt {H{E^2} + H{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{8} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}$

$ME \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow ME \bot EN \Rightarrow \Delta MNE$ vuông tại E $\Rightarrow ME = NE.tan60 = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}$

Vì ME là đường trung bình của tam giác SAO nên $SO = 2ME = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{2}$

$\Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\frac{{a\sqrt {30} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}$

Chọn D.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.