Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:
Câu 195655: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và BC. Biết góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng (ABCD) bằng \({60^0}\). Thể tích khối chóp S.ABCD là:
A. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{5}\)
B. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{{15}}\)
C. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{{30}}\)
D. \(\dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}\)
Quảng cáo
-
Đáp án : D(8) bình luận (0) lời giải
Giải chi tiết:
Gọi \(O=AC\cap BD\). Vì chóp S.ABCD là chóp đều nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\)
Gọi E là trung điểm của OA \(\Rightarrow ME\) là đường trung bình của tam giác SAO\( \Rightarrow ME//SO \Rightarrow ME \bot \left( {ABCD} \right)\)
\( \Rightarrow EN\) là hình chiếu vuông góc của MN trên (ABCD)\( \Rightarrow \widehat {\left( {MN;\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {MN;EN} \right)} = \widehat {MNE} = {60^0}\)
Gọi H là trung điểm của AB ta có: HE; HN lần lượt là đường trung bình của tam giác OAB và tam giác ABC
\(\Rightarrow HE//OB;HN//AC\).
Mà \(OB\bot AC\Rightarrow HE\bot HN\Rightarrow \Delta HEN\) vuông tại H
Hình vuông ABCD cạnh a\( \Rightarrow AC = BD = a\sqrt 2 \Rightarrow OB = \dfrac{1}{2}BD = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
Ta có: \(HE = \dfrac{1}{2}OB = \dfrac{1}{2}.\dfrac{{a\sqrt 2 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{4};HN = \dfrac{1}{2}AC = \dfrac{{a\sqrt 2 }}{2}\)
\( \Rightarrow EN = \sqrt {H{E^2} + H{N^2}} = \sqrt {\dfrac{{{a^2}}}{8} + \dfrac{{{a^2}}}{2}} = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}\)
\(ME \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow ME \bot EN \Rightarrow \Delta MNE\) vuông tại E\( \Rightarrow ME = NE.tan60 = \dfrac{{a\sqrt {10} }}{4}.\sqrt 3 = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{4}\)
Vì ME là đường trung bình của tam giác SAO nên \(SO = 2ME = \dfrac{{a\sqrt {30} }}{2}\)
\( \Rightarrow {V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\frac{{a\sqrt {30} }}{2}.{a^2} = \dfrac{{{a^3}\sqrt {30} }}{6}\)
Chọn D.
Lời giải sai Bình thường Khá hay Rất Hay
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2024 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
