Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện
Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:
Đáp án đúng là: D
Quảng cáo
Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow DG \bot \left( {ABC} \right)\)
Giả sử tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là trung điểm của BC.
Tam giác ABC đều nên \(AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
\(DG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \Delta DAG\) vuông tại G\( \Rightarrow DG = \sqrt {D{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)
Tam giác ABC đều cạnh a nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)
\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DG.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Vì tứ diện đều ABCD cạnh 8 nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{8^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\)
Tứ diện đều FAHI cạnh x nên \({V_1} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
Tương tự ta có: \({V_2} = {V_3} = {V_4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)
\( \Rightarrow \)Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là \(V = {V_{ABCD}} - 4{V_1}\)\( = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} - 4\dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3}\)
Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD nên ta có:
\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow 128 - {x^3} = 96\\ \Leftrightarrow {x^3} = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{32}} = 2\sqrt[3]{4}\end{array}\)
Đáp án cần chọn là: D
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
