Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện

Câu hỏi số 195656:

Vận dụng

Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng 8. Ở bốn đỉnh tứ diện, nguời ta cắt đi các tứ diện đều bằng nhau có cạnh bằng x, biết khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD. Giá trị của x là:

A. \(3\sqrt[3]{2}\)

B. \(3\sqrt[3]{4}\)

C. \(2\sqrt 2 \)

D. \(2\sqrt[3]{4}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:195656

Giải chi tiết

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC \( \Rightarrow DG \bot \left( {ABC} \right)\)

Giả sử tứ diện đều ABCD cạnh a. Gọi E là trung điểm của BC.

Tam giác ABC đều nên \(AE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AG = \dfrac{2}{3}AE = \dfrac{2}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

\(DG \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow \Delta DAG\) vuông tại G\( \Rightarrow DG = \sqrt {D{A^2} - A{G^2}} = \sqrt {{a^2} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}\)

Tam giác ABC đều cạnh a nên \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4}\)

\( \Rightarrow {V_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}DG.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}\dfrac{{a\sqrt 6 }}{3}.\dfrac{{{a^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{a^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Vì tứ diện đều ABCD cạnh 8 nên \({V_{ABCD}} = \dfrac{{{8^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\)

Tứ diện đều FAHI cạnh x nên \({V_1} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

Tương tự ta có: \({V_2} = {V_3} = {V_4} = \dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}}\)

\( \Rightarrow \)Khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích là \(V = {V_{ABCD}} - 4{V_1}\)\( = \dfrac{{128\sqrt 2 }}{3} - 4\dfrac{{{x^3}\sqrt 2 }}{{12}} = \dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3}\)

Vì khối đa diện tạo thành sau khi cắt có thể tích bằng \(\dfrac{3}{4}\)thể tích tứ diện ABCD nên ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{\left( {128 - {x^3}} \right)\sqrt 2 }}{3} = \dfrac{3}{4}\dfrac{{128\sqrt 2 }}{3}\\ \Rightarrow 128 - {x^3} = 96\\ \Leftrightarrow {x^3} = 32 \Rightarrow x = \sqrt[3]{{32}} = 2\sqrt[3]{4}\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.