Cho hình chóp đều \(S.ABC\), đường cao \(SH\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SC\) bằng \(2cm\). Góc
Cho hình chóp đều \(S.ABC\), đường cao \(SH\). Khoảng cách từ \(H\) đến \(SC\) bằng \(2cm\). Góc tạo bởi hai mặt kề nhau bằng \(60^0\). Tính thể tích khối chóp \(S.ABC\)?
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
\(SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H\) là trọng tâm tam giác đều ABC
Gọi I là trung điểm của AB
Trong (SIC) kẻ \(HK \bot SC\) ta có \(HK = 2\left( {cm} \right)\). Kẻ \(IE//HK\left( {E \in SC} \right)\)
Vì HK // IE \( \Rightarrow \dfrac{{HK}}{{IE}} = \dfrac{{HC}}{{IC}} = \dfrac{2}{3}\)\( \Rightarrow IE = \dfrac{3}{2}HK = 3\left( {cm} \right)\)
Vì \(IE//HK \Rightarrow IE \bot SC\,\,\left( 1 \right)\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow AB \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow AB \bot SC\,\,\left( 2 \right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot \left( {ABE} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot AE;SC \bot BE\)
Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\\left( {SAC} \right) \supset AE \bot SC\\\left( {SBC} \right) \supset BE \bot SC\end{array} \right\}\)\( \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE;BE} \right)}\)
Giả sử\(\widehat {\left( {AE;BE} \right)} = \widehat {AEB} = {60^0}\):
Dễ chứng minh được \(\Delta ACE = \Delta BCE\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow AE = BE\)\( \Rightarrow \Delta EAB\) cân tại E
Mà \(\widehat {AEB} = {60^0} \Rightarrow \Delta EAB\) đều\( \Rightarrow BE = AB = BC\)
Mà \(SC \bot \left( {ABE} \right)\)\( \Rightarrow SC \bot BE \Rightarrow BE < BC\) (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)
\( \Rightarrow \widehat {AEB} = {120^0}\)
Suy ra trung tuyến IE đồng thời là đường phân giác \( \Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {BEI} = \dfrac{1}{2}\widehat {AEB} = {60^0}\)
\( \Rightarrow AI = IE.\tan 60 = 3.\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)\( \Rightarrow AB = 2AI = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)\)
Tam giác ABC đều \( \Rightarrow IC = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{6\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 9\left( {cm} \right)\)
\( \Rightarrow HC = \dfrac{2}{3}IC = \dfrac{2}{3}.9 = 6\left( {cm} \right)\)
Xét tam giác vuông SHC có: \(SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + 36} \)
\({S_{SIC}} = \dfrac{1}{2}SH.IC = \dfrac{1}{2}IE.SC\)\( \Rightarrow SH.9 = 3.\sqrt {S{H^2} + 36} \)
\( \Rightarrow 9S{H^2} = S{H^2} + 36\)\( \Rightarrow S{H^2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}\)
\({S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 27\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right)\)
Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}.27\sqrt 3 = \dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}\left( {c{m^3}} \right)\)
Chọn A.
Đáp án cần chọn là: A
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
