Cho hình chóp đều $S.ABC$ , đường cao $SH$ . Khoảng cách từ $H$ đến $SC$ bằng $2cm$ . Góc

Câu hỏi số 195665:

Vận dụng cao

Cho hình chóp đều $S.ABC$ , đường cao $SH$ . Khoảng cách từ $H$ đến $SC$ bằng $2cm$ . Góc tạo bởi hai mặt kề nhau bằng $60^0$ . Tính thể tích khối chóp $S.ABC$ ?

\frac{27 \sqrt{6}}{2}

$\dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}$

\frac{27 \sqrt{3}}{2}

$\dfrac{{27\sqrt 3 }}{2}$

\frac{27 \sqrt{2}}{2}

$\dfrac{{27\sqrt 2 }}{2}$

\frac{27 \sqrt{6}}{4}

$\dfrac{{27\sqrt 6 }}{4}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:195665

Giải chi tiết

$SH \bot \left( {ABC} \right) \Rightarrow H$ là trọng tâm tam giác đều ABC

Gọi I là trung điểm của AB

Trong (SIC) kẻ $HK \bot SC$ ta có $HK = 2\left( {cm} \right)$ . Kẻ $IE//HK\left( {E \in SC} \right)$

Vì HK // IE $\Rightarrow \dfrac{{HK}}{{IE}} = \dfrac{{HC}}{{IC}} = \dfrac{2}{3}$ $\Rightarrow IE = \dfrac{3}{2}HK = 3\left( {cm} \right)$

Vì $IE//HK \Rightarrow IE \bot SC\,\,\left( 1 \right)$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}AB \bot CI\\AB \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABC} \right)} \right)\end{array} \right\}$ $\Rightarrow AB \bot \left( {SIC} \right) \Rightarrow AB \bot SC\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) suy ra $SC \bot \left( {ABE} \right)$ $\Rightarrow SC \bot AE;SC \bot BE$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBC} \right) = SC\\\left( {SAC} \right) \supset AE \bot SC\\\left( {SBC} \right) \supset BE \bot SC\end{array} \right\}$ $\Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {SBC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {AE;BE} \right)}$

Giả sử $\widehat {\left( {AE;BE} \right)} = \widehat {AEB} = {60^0}$ :

Dễ chứng minh được $\Delta ACE = \Delta BCE\left( {c.g.c} \right)$ $\Rightarrow AE = BE$ $\Rightarrow \Delta EAB$ cân tại E

Mà $\widehat {AEB} = {60^0} \Rightarrow \Delta EAB$ đều $\Rightarrow BE = AB = BC$

Mà $SC \bot \left( {ABE} \right)$ $\Rightarrow SC \bot BE \Rightarrow BE < BC$ (quan hệ đường vuông góc và đường xiên)

$\Rightarrow \widehat {AEB} = {120^0}$

Suy ra trung tuyến IE đồng thời là đường phân giác $\Rightarrow \widehat {AEI} = \widehat {BEI} = \dfrac{1}{2}\widehat {AEB} = {60^0}$

$\Rightarrow AI = IE.\tan 60 = 3.\sqrt 3 \left( {cm} \right)$ $\Rightarrow AB = 2AI = 6\sqrt 3 \left( {cm} \right)$

Tam giác ABC đều $\Rightarrow IC = \dfrac{{AB\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{6\sqrt 3 .\sqrt 3 }}{2} = 9\left( {cm} \right)$

$\Rightarrow HC = \dfrac{2}{3}IC = \dfrac{2}{3}.9 = 6\left( {cm} \right)$

Xét tam giác vuông SHC có: $SC = \sqrt {S{H^2} + H{C^2}} = \sqrt {S{H^2} + 36}$

${S_{SIC}} = \dfrac{1}{2}SH.IC = \dfrac{1}{2}IE.SC$ $\Rightarrow SH.9 = 3.\sqrt {S{H^2} + 36}$

$\Rightarrow 9S{H^2} = S{H^2} + 36$ $\Rightarrow S{H^2} = \dfrac{9}{2} \Rightarrow SH = \dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}$

${S_{ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{{{\left( {6\sqrt 3 } \right)}^2}\sqrt 3 }}{4} = 27\sqrt 3 \,\left( {c{m^2}} \right)$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABC}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3\sqrt 2 }}{2}.27\sqrt 3 = \dfrac{{27\sqrt 6 }}{2}\left( {c{m^3}} \right)$

Chọn A.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.