Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha \).

Câu hỏi số 195664:

Vận dụng cao

Một hình chóp tam giác đều có cạnh bên bằng b và cạnh bên tạo với đáy một góc \(\alpha \). Thể tích của hình chóp đó là:

A. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{b^3}{\rm{cos}}\alpha \sin \alpha \)

B. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \sin \alpha \)

C. \(\dfrac{{\sqrt 3 }}{3}{b^3}{\sin ^2}\alpha {\rm{cos}}\alpha \)

D. \(\dfrac{3}{4}{b^3}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \sin \alpha \)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:195664

Giải chi tiết

Gọi O là trọng tâm tam giác đều ABC nên \(SO \bot \left( {ABCD} \right)\) (do chóp S.ABCD đều)

\( \Rightarrow OA\) là hình chiếu vuông góc của SA trên (ABC)

\( \Rightarrow \widehat {\left( {SA;\left( {ABC} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SA;OA} \right)} = \widehat {SAO} = \alpha \)

Xét tam giác vuông SOA có: \(SO = SA.\sin \alpha = b\sin \alpha ;\) \(OA = SA.c{\rm{os}}\alpha = b\cos \alpha \)

\( \Rightarrow AD = \dfrac{3}{2}OA = \dfrac{3}{2}b.c{\rm{os}}\alpha \)

Ta có: \(AD = AB\dfrac{{\sqrt 3 }}{2}\)\( \Rightarrow AB = \dfrac{{2AD}}{{\sqrt 3 }} = \sqrt 3 .b.c{\rm{os}}\alpha \)

Khi đó \({S_{\Delta ABC}} = \dfrac{{A{B^2}\sqrt 3 }}{4} = \dfrac{{3\sqrt 3 {b^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{4}\)

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SO.{S_{\Delta ABC}}\)\( = \dfrac{1}{3}SA.\sin \alpha .\dfrac{{3\sqrt 3 S{A^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha }}{4}\) \( = \dfrac{{\sqrt 3 }}{4}{b^3}\sin \alpha {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha \)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.