Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết $AC = 2a;BD = 2a\sqrt 3$ . Biết tam giác SOB

Câu hỏi số 196072:

Vận dụng

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, biết $AC = 2a;BD = 2a\sqrt 3$ . Biết tam giác SOB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Thể tích của khối chóp S.ABCD là bao nhiêu biết góc giữa hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD) bằng ${45^0}$ ?

\frac{2 a^{3}}{3}

$\dfrac{{2{a^3}}}{3}$

\frac{3 a^{3}}{2}

$\dfrac{{3{a^3}}}{2}$

a^{3}

${a^3}$

\frac{a^{3}}{2}

$\dfrac{{{a^3}}}{2}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:196072

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của OB. Vì tam giác SOB cân tại S nên $SH \bot OB$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SOB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SOB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = OB\\\left( {SOB} \right) \supset SH \bot OB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Trong (ABCD) kẻ

$OE \bot CD\,\,\left( {E \in CD} \right);\,\,HK\parallel OE\,\,\left( {K \in CD} \right) \Rightarrow HK \bot CD$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}CD \bot SH\,\,\left( {SH \bot \left( {ABCD} \right)} \right)\\CD \bot HK\end{array} \right\} \Rightarrow CD \bot \left( {SHK} \right) \Rightarrow CD \bot SK$

$\left. \begin{array}{l}\left( {SCD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = CD\\\left( {SCD} \right) \supset SK \bot CD\\\left( {ABCD} \right) \supset HK \bot CD\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SCD} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SK;HK} \right)} = \widehat {SKH} = {45^0}$

(Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HK \Rightarrow \Delta SHK$ vuông tại H $\Rightarrow \widehat {SKH} < {90^0}$ )

$\Rightarrow SH = HK.\tan 45 = HK$

Vì $ABCD$ là hình thoi nên $AC \bot BD \Rightarrow \Delta OCD$ vuông tại O

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông OCD có:

$\dfrac{1}{{O{E^2}}} = \dfrac{1}{{O{C^2}}} + \dfrac{1}{{O{D^2}}} = \dfrac{1}{{{a^2}}} + \dfrac{1}{{3{a^2}}} = \dfrac{4}{{3{a^2}}} \Rightarrow OE = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

$OE//HK \Rightarrow \dfrac{{OE}}{{HK}} = \dfrac{{DO}}{{DH}} = \dfrac{2}{3}$ (Định lí Ta-let) $\Rightarrow HK = \dfrac{3}{2}OE = \dfrac{3}{2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4} \Rightarrow SH = \dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}$

${S_{ABCD}} = \dfrac{1}{2}AC.BD = \dfrac{1}{2}2a.2a\sqrt 3 = 2{a^2}\sqrt 3$

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{3a\sqrt 3 }}{4}.2{a^2}\sqrt 3 = \dfrac{{3{a^3}}}{2}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.