Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAB là tam giác cân tại S và nằm trong

Câu hỏi số 196077:

Vận dụng

Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD) bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

A. \(\dfrac{{8{a^3}\sqrt {15} }}{5}\)

B. \(\dfrac{{8{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}\)

C. \(\dfrac{{8{a^3}\sqrt {15} }}{3}\)

D. Đáp án khác

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:196077

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều nên \(SH \bot AB\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)\)

Trong (ACBD) kẻ \(HE \bot BM\,\,\left( 1 \right)\) ta có:

\(SH \bot \left( {ABCD} \right) \supset BM \Rightarrow SH \bot BM\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow BM \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow BM \bot SE\)

Ta có: \(\left. \begin{array}{l}\left( {SBM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\\left( {SBM} \right) \supset SE \bot BM\\\left( {ABCD} \right) \supset HE \bot BM\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;HE} \right)}\)

Vì \(SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE\) vuông tại H

\( \Rightarrow \widehat {SEH} < {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;HE} \right)} = \widehat {SEH} = {60^0}\)

Gọi N là trung điểm của BC ta dễ dàng chứng minh được \(AN \bot BM\) tại I.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN có : \(AI = \dfrac{{A{B^2}}}{{AN}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + B{N^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{4a}}{\sqrt5}\)

\(HE \bot BM \Rightarrow HE//AI\), mà H là trung điểm AB \( \Rightarrow HE\) là đường trung bình của tam giác ABI \( \Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{{2a}}{\sqrt{5}}\).

Xét tam giác vuông SHE có : \(SH = HE.\tan 60 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{\sqrt{5}}\).

Vậy \({V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{\sqrt{5}}.4{a^2} = \dfrac{{8\sqrt {15} {a^3}}}{{15}}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.