Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAB là tam giác cân tại S và nằm trong

Câu hỏi số 196077:

Vận dụng

Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a ; SAB là tam giác cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của CD. Góc giữa hai mặt phẳng (SBM) và (ABCD) bằng 60º. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

\frac{8 a^{3} \sqrt{15}}{5}

$\dfrac{{8{a^3}\sqrt {15} }}{5}$

\frac{8 a^{3} \sqrt{15}}{15}

$\dfrac{{8{a^3}\sqrt {15} }}{{15}}$

\frac{8 a^{3} \sqrt{15}}{3}

$\dfrac{{8{a^3}\sqrt {15} }}{3}$

D. Đáp án khác

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:196077

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AB. Vì tam giác SAB đều nên $SH \bot AB$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SAB} \right) \bot \left( {ABCD} \right)\\\left( {SAB} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = AB\\\left( {SAB} \right) \supset SH \bot AB\end{array} \right\} \Rightarrow SH \bot \left( {ABCD} \right)$

Trong (ACBD) kẻ $HE \bot BM\,\,\left( 1 \right)$ ta có:

$SH \bot \left( {ABCD} \right) \supset BM \Rightarrow SH \bot BM\,\,\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2) $\Rightarrow BM \bot \left( {SHE} \right) \Rightarrow BM \bot SE$

Ta có: $\left. \begin{array}{l}\left( {SBM} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BM\\\left( {SBM} \right) \supset SE \bot BM\\\left( {ABCD} \right) \supset HE \bot BM\end{array} \right\} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;HE} \right)}$

Vì $SH \bot \left( {ABCD} \right) \Rightarrow SH \bot HE \Rightarrow \Delta SHE$ vuông tại H

$\Rightarrow \widehat {SEH} < {90^0} \Rightarrow \widehat {\left( {\left( {SAC} \right);\left( {ABCD} \right)} \right)} = \widehat {\left( {SE;HE} \right)} = \widehat {SEH} = {60^0}$

Gọi N là trung điểm của BC ta dễ dàng chứng minh được $AN \bot BM$ tại I.

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ABN có : $AI = \dfrac{{A{B^2}}}{{AN}} = \dfrac{{A{B^2}}}{{\sqrt {A{B^2} + B{N^2}} }} = \dfrac{{4{a^2}}}{{\sqrt {4{a^2} + {a^2}} }} = \dfrac{{4a}}{\sqrt5}$

$HE \bot BM \Rightarrow HE//AI$ , mà H là trung điểm AB $\Rightarrow HE$ là đường trung bình của tam giác ABI $\Rightarrow HE = \dfrac{1}{2}AI = \dfrac{{2a}}{\sqrt{5}}$ .

Xét tam giác vuông SHE có : $SH = HE.\tan 60 = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{\sqrt{5}}$ .

Vậy ${V_{S.ABCD}} = \dfrac{1}{3}SH.{S_{ABCD}} = \dfrac{1}{3}\dfrac{{2a\sqrt 3 }}{\sqrt{5}}.4{a^2} = \dfrac{{8\sqrt {15} {a^3}}}{{15}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.