Cho \(A\) là điểm cố định trên đường tròn \(\left( {O;R} \right).\) Gọi \(AB\) và \(AC\) là hai dây
Cho \(A\) là điểm cố định trên đường tròn \(\left( {O;R} \right).\) Gọi \(AB\) và \(AC\) là hai dây cung thay đổi trên đường tròn \(\left( O \right)\) thỏa mãn \(\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 .\) Khi đó vị trí của \(B,\,C\) trên \(\left( O \right)\) để diện tích \(\Delta ABC\) lớn nhất là:
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Sử dụng tính chất góc nội tiếp chắn nửa đường tròn để chứng minh \(\widehat {ABD} = {90^0} \Rightarrow \Delta ABD \sim \Delta AHC\).
Tính độ dài \(AH\) từ tính chất hai tam giác đồng dạng, từ đó suy ra điều kiện để diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất.
Kẻ \(AH \bot BC,\,OI \bot BC\), đường kính \(AD.\)
Ta chứng minh được \(\Delta AHC \sim \Delta ABD\,\left( {g - g} \right).\)
Do đó \(\frac{{AH}}{{AB}} = \frac{{AC}}{{AD}} \Rightarrow AH.AD = AB.AC \Rightarrow AB.AC = 2R.AH\,\,\left( 1 \right).\)
Theo giả thiết \(\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 ,\) nên \(AB.AC = 3{R^2}\,\,\left( 2 \right).\)
Thay \(\left( 2 \right)\) và \(\left( 1 \right)\) ta có \(AH = \frac{{3R}}{2}.\)
Lại có \(OI + OA \ge AI \ge AH\) nên \(OI \ge AH - OA = \frac{{3R}}{2} - R = \frac{R}{2}.\)
Do \(AH = \frac{{3R}}{2}\) là giá trị không đổi nên \({S_{ABC}}\) lớn nhất khi \(BC\) lớn nhất \( \Leftrightarrow OI\) nhỏ nhất
\( \Leftrightarrow OI = \frac{R}{2} \Leftrightarrow BC \bot OA \Rightarrow \Delta ABC\) cân tại \(A\).
Mà \(OI = \frac{R}{2} \Rightarrow \sin \widehat {OBI} = \frac{{OI}}{{OB}} = \frac{1}{2} \Rightarrow \widehat {OBI} = \widehat {OCI} = {30^0} \Rightarrow \widehat {BOC} = {120^0}\) \( \Rightarrow \widehat {BAC} = {60^0}\)
Vậy \(\Delta ABC\) đều.
Chọn đáp án B.
HS thường làm sai như sau:
Diện tích tam giác \(ABC\) lớn nhất khi \(BC = 2R,AH = R\) mà không để ý đến điều kiện \(\sqrt {AB.AC} = R\sqrt 3 \).
Đáp án cần chọn là: B
Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10
>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
