Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi :\(\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = 2011\\{u_{n + 1}} =

Câu hỏi số 298971:

Vận dụng cao

Cho dãy số $({u_n})$ được xác định bởi : $\left\{ \begin{array}{l}{u_0} = 2011\\{u_{n + 1}} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n} + 1}},{\rm{ }}\forall n = 1;\;2;\;......\end{array} \right.$

Tìm phần nguyên của ${u_n}$ với $0 \le n \le 1006$ .

$\left[ {{u_n}} \right] = 2014 - n$

$\left[ {{u_n}} \right] = 2011 - n$

$\left[ {{u_n}} \right] = 2013 - n$

$\left[ {{u_n}} \right] = 2012 - n$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298971

Phương pháp giải

$a < {u_n} < a + 1 \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right] = a$ . Từ công thức đề bài biến đổi để tìm a.

Giải chi tiết

Ta có: ${u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2}}{{{u_n} + 1}} - {u_n} = \frac{{u_n^2 - u_n^2 - {u_n}}}{{{u_n} + 1}} = \frac{{ - {u_n}}}{{{u_n} + 1}} < 0,{\rm{ }}\forall n$ nên dãy $({u_n})$ là dãy giảm.

Lại có: ${u_n} = \frac{{u_{n - 1}^2}}{{{u_{n - 1}} + 1}} = {u_{n - 1}} - \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}} > {u_{n - 1}} - 1 > ... > {u_0} - n\;\;\left( {do\;\;\frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}} < 0} \right)$

Suy ra: ${u_n} > {u_0} - n = 2011 - n$

Mặt khác:

$\begin{array}{l}{u_n} = \left( {{u_n} - {u_{n - 1}}} \right) + ({u_{n - 1}} - {u_{n - 2}}) + ... + ({u_1} - {u_0}) + {u_0}\\\;\;\; = {u_0} - \left( {\frac{{{u_0}}}{{{u_0} + 1}} + \frac{{{u_1}}}{{{u_1} + 1}} + ... + \frac{{{u_{n - 1}}}}{{{u_{n - 1}} + 1}}} \right)\\\;\;\; = {u_0} - n + \left( {\frac{1}{{{u_0} + 1}} + \frac{1}{{{u_1} + 1}} + ... + \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 1}}} \right).\end{array}$

Mà:

$0 < \frac{1}{{{u_0} + 1}} + \frac{1}{{{u_1} + 1}} + ... + \frac{1}{{{u_{n - 1}} + 1}} < \frac{n}{{{u_{n - 1}} + 1}} < \frac{n}{{2012 - n}} < 1$ với mọi $n = 2;\;3;\;....;\;1006.$

Suy ra ${u_n} < {u_0} - n + 1 = 2012 - n$

Do đó: $2011 - n < {u_n} < 2012 - n \Rightarrow \left[ {{u_n}} \right] = 2011 - n$ với $n = 2;\;3;\;....;\;1006.$

Vì ${u_0} = 2011$ và ${u_1} = \frac{{{{2011}^2}}}{{2012}} = 2010,000497$

nên $\left[ {{u_0}} \right] = 2011 - 0,{\rm{ }}\left[ {{u_1}} \right] = 2010 = 2011 - 1$

Vậy $\left[ {{u_n}} \right] = 2011 - n,{\rm{ }}\forall \;n = 2;\;3;\;....;\;1006.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.