Dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } \) (n

Câu hỏi số 298970:

Vận dụng cao

Dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } \) (n dấu căn). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tăng

B. Giảm

C. Không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298970

Phương pháp giải

Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)

+) Nếu \(H > 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.

+) Nếu \(H < 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.

Giải chi tiết

Ta có : \({u_{n + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {....... + \sqrt {2010} } } } \) (\(n + 1\) dấu căn).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 2010 + {u_n} \Leftrightarrow {u_n} = u_{n + 1}^2 - 2010\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - u_{n + 1}^2 + {u_{n + 1}} + 2010\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - \left( {{u_{n + 1}} - \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + \frac{{1 - \sqrt {8041} }}{2}} \right)\end{array}\)

Bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}{\rm{ }}\forall n\)

Ta chứng minh như sau:

Giả sử \({u_k} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (k dấu căn)

Cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (\(k + 1\) dấu căn)

Ta có

\(\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + {u_k}} < \sqrt {2010 + \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} = \sqrt {\frac{{4021 + \sqrt {8041} }}{2}} = \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} } }}{2}\\ < \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt {8041} } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\\ \Rightarrow {u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}.\end{array}\)

Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy tăng.

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K9 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Học trực tuyến - Định hướng luyện thi TN THPT, ĐGNL, ĐGTD ngay từ lớp 11 (Xem ngay) cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, tiếp cận sớm các kì thi.