Dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } }$ (n

Câu hỏi số 298970:

Vận dụng cao

Dãy số $({u_n})$ xác định bởi ${u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } }$ (n dấu căn). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tăng

B. Giảm

C. Không tăng, không giảm

D. A, B, C đều sai

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:298970

Phương pháp giải

Xét hiệu $H = {u_{n + 1}} - {u_n}$

+) Nếu $H > 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow$ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy tăng.

+) Nếu $H < 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow$ Dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ là dãy giảm.

Giải chi tiết

Ta có : ${u_{n + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {....... + \sqrt {2010} } } }$ ( $n + 1$ dấu căn).

$\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 2010 + {u_n} \Leftrightarrow {u_n} = u_{n + 1}^2 - 2010\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - u_{n + 1}^2 + {u_{n + 1}} + 2010\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - \left( {{u_{n + 1}} - \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + \frac{{1 - \sqrt {8041} }}{2}} \right)\end{array}$

Bằng quy nạp ta chứng minh được ${u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}{\rm{ }}\forall n$

Ta chứng minh như sau:

Giả sử ${u_k} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}$ (k dấu căn)

Cần chứng minh ${u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}$ ( $k + 1$ dấu căn)

Ta có

$\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + {u_k}} < \sqrt {2010 + \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} = \sqrt {\frac{{4021 + \sqrt {8041} }}{2}} = \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} } }}{2}\\ < \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt {8041} } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\\ \Rightarrow {u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}.\end{array}$

Suy ra ${u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Rightarrow$ dãy $({u_n})$ là dãy tăng.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.