Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } \) (n
Dãy số \(({u_n})\) xác định bởi \({u_n} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } \) (n dấu căn). Khẳng định nào sau đây là đúng?
Đáp án đúng là: A
Xét hiệu \(H = {u_{n + 1}} - {u_n}\)
+) Nếu \(H > 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy tăng.
+) Nếu \(H < 0,\,\forall n \in {N^*} \Rightarrow \) Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) là dãy giảm.
Ta có : \({u_{n + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {....... + \sqrt {2010} } } } \) (\(n + 1\) dấu căn).
\(\begin{array}{l} \Rightarrow u_{n + 1}^2 = 2010 + {u_n} \Leftrightarrow {u_n} = u_{n + 1}^2 - 2010\\ \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - u_{n + 1}^2 + {u_{n + 1}} + 2010\\ \Leftrightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} = - \left( {{u_{n + 1}} - \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} \right)\left( {{u_{n + 1}} + \frac{{1 - \sqrt {8041} }}{2}} \right)\end{array}\)
Bằng quy nạp ta chứng minh được \({u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}{\rm{ }}\forall n\)
Ta chứng minh như sau:
Giả sử \({u_k} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (k dấu căn)
Cần chứng minh \({u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + \sqrt {2010 + \sqrt {... + \sqrt {2010} } } } < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\) (\(k + 1\) dấu căn)
Ta có
\(\begin{array}{l}{u_{k + 1}} = \sqrt {2010 + {u_k}} < \sqrt {2010 + \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}} = \sqrt {\frac{{4021 + \sqrt {8041} }}{2}} = \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} } }}{2}\\ < \frac{{\sqrt {8041 + 2\sqrt {8041} + 1} }}{2} = \frac{{\sqrt {{{\left( {1 + \sqrt {8041} } \right)}^2}} }}{2} = \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}\\ \Rightarrow {u_n} < \frac{{1 + \sqrt {8041} }}{2}.\end{array}\)
Suy ra \({u_{n + 1}} - {u_n} > 0 \Rightarrow \) dãy \(({u_n})\) là dãy tăng.
Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
