Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}}$ . Chọn khẳng định đúng

Câu hỏi số 299426:

Vận dụng

Cho dãy $\left( {{u_n}} \right)$ với ${u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}}$ . Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. Dãy

(u_{n})

$\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

B. Dãy

(u_{n})

$\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn.

C. Dãy

(u_{n})

$\left( {{u_n}} \right)$ không bị chặn trên, không bị chặn trên.

D. Dãy

(u_{n})

$\left( {{u_n}} \right)$ bị chặn trên nhưng không bị chặn dưới.

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:299426

Phương pháp giải

Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm bằng cách chứng minh hiệu ${u_{n + 1}} - {u_n} < 0$ . Từ đó chọn kết luận đúng.

Giải chi tiết

Ta có

$\begin{array}{l}{u_n} = \frac{{n + 2018}}{{2018n + 1}} = \frac{{n + \frac{1}{{2018}} + 2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}}\\= \frac{1}{{2018}} + \frac{{2018 - \frac{1}{{2018}}}}{{2018n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{{{2018}^2} - 1}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\\\Rightarrow {u_{n + 1}} = \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018\left( {n + 1} \right) + 1} \right)}}\\= \frac{1}{{2018}} + \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}}\\\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n}\\= \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 2019} \right)}} - \frac{{2017.2019}}{{2018\left( {2018n + 1} \right)}}\\= \frac{{2017.2019}}{{2018}}\left( {\frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}}} \right)\end{array}$

$\begin{array}{l}2018n + 2019 > 2018n + 1 \Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} < \frac{1}{{2018n + 1}}\\\Rightarrow \frac{1}{{2018n + 2019}} - \frac{1}{{2018n + 1}} < 0\\\Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0 \Leftrightarrow {u_{n + 1}} < {u_n}\end{array}$

Suy ra dãy số đó cho là dãy số giảm.

Lại có ${u_1} = \frac{{1 + 2018}}{{2018 + 1}} = 1$ . Vậy dãy số $\left( {{u_n}} \right)$ giảm và bị chặn dưới bởi 1.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.