Tổng \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n}\) bằng

Câu hỏi số 300593:

Thông hiểu

A. \({2^{n - 2}}\)

B. \({2^{n - 1}}\)

C. \({2^{2n - 2}}\)

D. \({2^{2n - 1}}\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:300593

Phương pháp giải

Nhận xét : biểu thức đã cho gồm tổng của các \(C_n^k\)với k : chẵn

Để triệt tiêu các k lẻ : ta thức hiện 2 khai triển nhị thức Newton sau đó cộng vế với vế.

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + ... - C_{2n}^{2n}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết

Xét khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0{x^{2n}} + C_{2n}^1{x^{2n - 1}} + C_{2n}^2{x^{2n - 2}} + ... + C_{2n}^{2n}\).

Thay \(x = 1\) vào khai triển ta được \({2^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n}\,\,\,\,\,\,\,(1)\).

Thay \(x = - 1\) vào khai triển ta được :

\(0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... + C_{2n}^{2n} \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ....C_{2n}^{2n - 1}\,\,\,\,(2)\).

Cộng vế với vế của \((1)\) và \((2)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;2\left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n} = {2^{2n - 1}}.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 11 cùng thầy cô giáo giỏi trên Tuyensinh247.com. Bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng. Cam kết giúp học sinh lớp 11 học tốt, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.