Tổng $C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n}$ bằng

Câu hỏi số 300593:

Thông hiểu

${2^{n - 2}}$

${2^{n - 1}}$

${2^{2n - 2}}$

${2^{2n - 1}}$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300593

Phương pháp giải

Nhận xét : biểu thức đã cho gồm tổng của các $C_n^k$ với k : chẵn

Để triệt tiêu các k lẻ : ta thức hiện 2 khai triển nhị thức Newton sau đó cộng vế với vế.

$\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + ... - C_{2n}^{2n}\end{array} \right.$

Giải chi tiết

Xét khai triển ${\left( {x + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0{x^{2n}} + C_{2n}^1{x^{2n - 1}} + C_{2n}^2{x^{2n - 2}} + ... + C_{2n}^{2n}$ .

Thay $x = 1$ vào khai triển ta được ${2^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n}\,\,\,\,\,\,\,(1)$ .

Thay $x = - 1$ vào khai triển ta được :

$0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... + C_{2n}^{2n} \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ....C_{2n}^{2n - 1}\,\,\,\,(2)$ .

Cộng vế với vế của $(1)$ và $(2)$ ta được:

$\begin{array}{l}\;\;\;2\left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n} = {2^{2n - 1}}.\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.