Cho số nguyên dương $n$ , tính tổng \(S = \frac{{ - {\rm{C}}_n^1}}{{2.3}} + \frac{{2{\rm{C}}_n^2}}{{3.4}} -

Câu hỏi số 300607:

Vận dụng cao

Cho số nguyên dương $n$ , tính tổng $S = \frac{{ - {\rm{C}}_n^1}}{{2.3}} + \frac{{2{\rm{C}}_n^2}}{{3.4}} - \frac{{3{\rm{C}}_n^3}}{{4.5}} + ... + \frac{{{{\left( { - 1} \right)}^n}n{\rm{C}}_n^n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$ .

$S = \frac{{ - n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$S = \frac{{2n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$S = \frac{n}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

$S = \frac{{ - 2n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300607

Phương pháp giải

Xây dựng công thức tổng quát của tổng là: $\frac{{k.{\rm{C}}_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}$

Chú ý rằng $\frac{{k.{\rm{C}}_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \left( {\frac{2}{{k + 2}} - \frac{1}{{k + 1}}} \right){\rm{C}}_n^k$

Từ đây ta tính hiệu của 2 biểu thức.

Biến đổi biểu thức sau đó tìm $n.$

Giải chi tiết

Với $k,\;n \in N*,\;0 \le k \le n$ ta có:

$\begin{array}{l}\frac{1}{{k + 1}}{\rm{C}}_n^k = \frac{{n!}}{{\left( {k + 1} \right).k!.\left( {n - k} \right)!}} = \frac{{\left( {n + 1} \right)!}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {k + 1} \right)!.\left( {n + 1 - \left( {k + 1} \right)} \right)!}} = \frac{1}{{n + 1}}{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}\\ \Rightarrow \frac{1}{{k + 1}}{\rm{C}}_n^k = \frac{1}{{n + 1}}{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}\;\;\;\left( * \right)\end{array}$

Áp dụng đẳng thức (*) ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{k.{\rm{C}}_n^k}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \left( {\frac{2}{{k + 2}} - \frac{1}{{k + 1}}} \right){\rm{C}}_n^k = \frac{{2.{\rm{C}}_n^k}}{{k + 2}} - \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} = 2.\frac{{k + 1}}{{k + 2}}.\frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} - \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}}\\ = 2.\left( {1 - \frac{1}{{k + 2}}} \right).\frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} - \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} = \frac{{{\rm{C}}_n^k}}{{k + 1}} - 2.\frac{{{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}}}{{\left( {k + 2} \right)\left( {n + 1} \right)}} = \frac{{{\rm{C}}_{n + 1}^{k + 1}}}{{n + 1}} - 2.\frac{{{\rm{C}}_{n + 2}^{k + 2}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\end{array}$

Suy ra

$S = \frac{1}{{n + 1}}\left( { - {\rm{C}}_{n + 1}^2 + {\rm{C}}_{n + 1}^3 - {\rm{C}}_{n + 1}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 1}^{n + 1}} \right) - \frac{2}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}\left( { - {\rm{C}}_{n + 2}^3 + {\rm{C}}_{n + 2}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 2}^{n + 2}} \right)$ .

Ta có

$\begin{array}{l} - {\rm{C}}_{n + 1}^2 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{\rm{C}}_{n + 1}^{n + 1} = \left( { - {\rm{C}}_{n + 1}^0 + {\rm{C}}_{n + 1}^1 - {\rm{C}}_{n + 1}^2 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 1}^{n + 1}} \right){\rm{ + C}}_{n + 1}^0 - {\rm{C}}_{n + 1}^1\\ = - {\left( {1 - 1} \right)^{n + 1}} + 1 - \left( {n + 1} \right) = - n\\ - {\rm{C}}_{n + 2}^3 + {\rm{C}}_{n + 2}^4 + ... + {\left( { - 1} \right)^n}{\rm{C}}_{n + 2}^{n + 2} = \left( {{\rm{C}}_{n + 2}^0 - {\rm{C}}_{n + 2}^1 + {\rm{C}}_{n + 2}^2 - {\rm{C}}_{n + 2}^3 + {\rm{C}}_{n + 2}^4 + ... + {{\left( { - 1} \right)}^n}{\rm{C}}_{n + 2}^{n + 2}} \right) - \left( {{\rm{C}}_{n + 2}^0 - {\rm{C}}_{n + 2}^1 + {\rm{C}}_{n + 2}^2} \right)\\ = {\left( {1 - 1} \right)^{n + 1}} - \left( {1 - \left( {n + 2} \right) + \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}{2}} \right) = - \frac{{{n^2} + n}}{2}\end{array}$

Vậy ta suy ra:

$S = \frac{1}{{n + 1}}\left( { - n} \right) + \frac{2}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}.\frac{{{n^2} + n}}{2} = \frac{{ - n}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.