Tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n +

Câu hỏi số 300606:

Vận dụng cao

Tính tổng $S = C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$

$S = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}$

$S = \frac{{{4^{n + 1}} + {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} - 1$

$S = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} + 1$

$S = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} - 1$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:300606

Phương pháp giải

Để tính tổng $S = C_n^0 + \frac{{{3^2} - 1}}{2}C_n^1 + ... + \frac{{{3^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}}C_n^n$ ta tách thành hiệu ${S_1}$ và ${S_2}$ với ${S_1} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k\frac{{{3^{k + 1}}}}{{k + 1}}} ;$ ${S_2} = \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}}$

Biến đổi $C_n^k\frac{{{3^{k + 1}}}}{{k + 1}}$ và $\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}$ về công thức tổng quát mới.

Công thức tổ hợp: $C_n^k = \frac{{n!}}{{(n - k)!k!}}$

Giải chi tiết

Ta có:

$\begin{array}{l}S = C_n^0 + \frac{{{3^n}}}{2}C_n^1 - \frac{1}{2}C_n^1 + ..... + \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n - \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\\ = \left( {C_n^0 + \frac{{{3^n}}}{2}C_n^1 + ...... + \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n} \right) - \left( {\frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ...... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n} \right) = {S_1} - {S_2}\end{array}$

Trong đó:

${S_1} = C_n^0 + \frac{{{3^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{3^3}}}{3}C_n^2 + ... + \frac{{{3^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n$ và ${S_2} = \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + ... + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n$

Ta có tính ${S_2}$

$\begin{array}{l}\frac{1}{{k + 1}}C_n^k = \frac{1}{{k + 1}}\frac{{n!}}{{k!(n - k)!}} = \frac{1}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!{\rm{[(}}n + 1) - (k + 1))!}} = \frac{1}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\\end{array}$

Với $k = 1;\;2;...;\;n$ ta có ${S_2} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 1}^n {C_{n + 1}^{k + 1}} = \frac{1}{{n + 1}}({2^{n + 1}} - 1) - 1 = \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 1$

Tính ${S_1} = ?$

Ta có:

$\begin{array}{l}\frac{{{3^{k + 1}}}}{{k + 1}}C_n^k = {3^{k + 1}}\frac{{n!}}{{(k + 1)!(n - k)!}} = \frac{{{3^{k + 1}}}}{{n + 1}}\frac{{(n + 1)!}}{{(k + 1)!{\rm{[}}(n + 1) - (k + 1){\rm{]!}}}} = \frac{{{3^{k + 1}}}}{{n + 1}}C_{n + 1}^{k + 1}\\ \Rightarrow {S_1} = \frac{1}{{n + 1}}\sum\limits_{k = 0}^n {{3^{k + 1}}C_{n + 2}^{k + 1}} - 2C_n^0 = \frac{1}{{n + 1}}\left( {\sum\limits_{k = 0}^{n + 1} {{3^k}C_{n + 1}^k} - C_n^0} \right) - 2C_n^0 = \frac{{{4^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 2\end{array}$

Vậy $S = {S_1} - {S_2} = \frac{{{4^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} - 2 - \frac{{{2^{n + 1}} - 1}}{{n + 1}} + 1 = \frac{{{4^{n + 1}} - {2^{n + 1}}}}{{n + 1}} - 1$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.