Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Cho tam giác ABCABC cân tạiA,A, có đường tròn nội tiếp là (I).(I).  Các điểm

Câu hỏi số 342848:
Vận dụng

Cho tam giác ABCABC cân tạiA,A, có đường tròn nội tiếp là (I).(I).  Các điểm E,FE,F theo thứ tự thuộc các cạnh CA,AB(EC,A;FB,A)CA,AB(EC,A;FB,A) sao cho EFEF tiếp xúc với đường tròn (I)(I) tại điểm P.P. Gọi K,LK,L lần lượt là hình chiếu vuông góc của E,FE,F lên BC.BC. Giả sử FKFK cắt ELEL tại điểm J.J. Gọi HH là hình chiếu vuông góc của JJ lên BC.BC.

1) Chứng minh rằng HJHJ là phân giác của EHF.EHF.

2) Ký hiệu S1S1S2S2 lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJLBFJLCEJK.CEJK. Chứng minh rằng: S1S2=BF2CE2.S1S2=BF2CE2.

3) Gọi DD là trung điểm của cạnh BC.BC. Chứng minh rằng ba điểm P,J,DP,J,D thẳng hàng.

Quảng cáo

Câu hỏi:342848
Phương pháp giải

1) Gọi GG là giao điểm của EHEHFL.FL. Sử dụng định lý  Ta-let để chứng minh ΔHFGΔHFG cân tại H.H.

+) Chứng minh FHL=EHKFHL=EHK để chứng minh yêu cầu bài toán.

2) Sử dụng tỉ số đồng dạng của tam giác để chứng minh tỉ của diện tích các tam giác.

Từ đó chứng minh bài toán.

3) Sử dụng định lý Ta-let để chứng minh các cặp cạnh tương ứng tỉ lệ và các cặp cạnh tương ứng bằng nhhau.

Chứng minh DPE=JPE=900D,J,PDPE=JPE=900D,J,P thẳng hàng.

Giải chi tiết

            

1) Chứng minh rằng HJHJ là phân giác của EHF.EHF.

Gọi GG là giao điểm của EHEHFL.FL.

Theo đề bài ta có: {FLBC={L}EKBC={K}FL//EK(BC).

Áp dụng định lý Ta-let ta có:

KJJF=HKHL(JH//FL)HKHL=EKLG(EK//GL)EKFL=JKJF(EK//FL)EKFL=EKLGEL=LG.

Hay L là trung điểm củaFG.

Lại có: HLFGΔHFG là tam giác cân tại H.

HL cũng là tia phân giác của ΔFHG.

FHL=LHG  (tính chất tia phân giác).

LHG=EHK (hai góc đối đỉnh)

FHL=EHK(=GHL).

Lại có: {FHJ+LHF=900JHE+EHK=900FHJ=EHJ

HJ là phân giác của FHE.

2) Ký hiệu S1S2 lần lượt là diện tích của các tứ giác BFJLCEJK. Chứng minh rằng: S1S2=BF2CE2.

Ta có: EK//FLJEK=FLJ (hai góc so le trong)

ΔEJKΔLJF(gg)SLJFSEJK=(LFKE)2SLJF=(LFKE)2.SEJK.

Xét ΔFBLΔECK ta có:

FBL=ECK (do ΔABC cân tại A)

ELB=EKC=900ΔFBLΔECK(gg)BFEC=FLEK.SFLBSEKC=(FLEK)2SFLB=(FLEK)2.SEKC

Ta có:  {S1=SBFJL=SBFL+SFJLS2=SEJKC=SEJK+SEKC.

S1=SBFJL=SBFL+SFJL=(FLEK)2.SEKC+(FLEK)2.SEJK=(FLEK)2(SEKC+SEJK)=(FLEK)2S2.S1S2=(FLEK)2=(BFCE)2=BF2CE2(dpcm).

3) Gọi D là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng ba điểm P,J,D thẳng hàng.

                                             

Gọi M,N lần lượt là giao điểm của EI,FIBC.

Ta có: AB,EF là hai tiếp tuyến của (I),  cắt nhau tại FFI là phân giác của BFEBFI=IFE (tính chất tia phân giác)

Tương tự ta có: EI là phân giác của FEIFEI=IEC.

Xét ΔIEF ta có:

EIF=1800(IEF+IFE)=1800BFE+FEC2=3600(BFE+FEC)2=B=C

BFIM,CEIN là các tứ giác nội tiếp. (Tứ giác có góc ngoài tại 1 đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối diện).

Ta có: AC,BC là các tiếp tuyến của (I), cắt nhau tại CCI là phân giác của ECBECI=NCI (tính chất tia phân giác).

ECI=ENI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung EI)

NCI=NEI (hai góc nội tiếp cùng chắn cung NI)

IEN=INE(=ICE=ICN).

ΔIEN là tam giác cân tại IIE=IN (tính chất tam giác cân).

Chứng minh tương tự ta có ΔIFM là tam giác cân tại IIF=IM.

Ta có: MEN=FME(=C2)

Mà hai góc này ở vị trí so le trong EN//FM.

Áp dụng định lý Ta-let ta có:

IDFL=INFN=DNNL(ID//FL)IEEM=DKKM=1IDEK(ID//EK)IEIM=INIF(FM//EK)IEIM+IE=ININ+IF=IEEM=INFNIDFL=1IDEKIDFL+IDEK=1ID(1FL+1EK)=1.

Lại có: JH(1FL+1EK)=JHFL+JHEK=HKLK+LHLK=1(JH//EK//FL).

ID=JHIDHJ là hình chữ nhật (dhnb).

Kéo dài JH cắt EF tại R,ID cắt (I) tại Q.

IQ=ID=R(I).

Ta có: JRFL+JREK=EREF+FREF=1(RJ//FL//EK).

Lại có: IDFL+IDEK=1(cmt)RJ=QI=ID.

RQIJ là hình chữ nhật. (dhnb)

R,Q,I,J cùng thuộc đường tròn đường kính IR.

Lại có IPEF={P}ΔIPR là  tam giác vuông tại P.

I,P,R cùng thuộc đường tròn đường kính IR.

I,J,P,Q,R cùng thuộc đường tròn đường kính IR.

JPQ+JIQ=1800JPQ=900

DPQ=900 (DQ là đường kính của đường tròn (I))

D,J,P  thẳng hàng. (đpcm)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com