Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\)

Câu hỏi số 342847:

Vận dụng

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy.\)

A. \(2)\,\,\min P = 6 - 4\sqrt 2 \)

B. \(2)\,\,\min P = 6 - 2\sqrt 2 \)

C. \(2)\,\,\min P = 3 - 4\sqrt 2 \)

D. \(2)\,\,\min P = 3 - 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342847

Phương pháp giải

Từ giả thiết, đánh giá \(x + y \ge a\).

+) Phân tích P theo \(x + y\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = 4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1 \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + 9xy + 5\left( {x + y} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9xy \ge 1\end{array}\)

Ta có \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 9xy \le \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge M \ge 1\\ \Leftrightarrow 16{\left( {x + y} \right)^2} + 20\left( {x + y} \right) + 9{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 25{\left( {x + y} \right)^2} + 20\left( {x + y} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y \ge \frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}\\x + y \le \frac{{ - 2 - 2\sqrt 2 }}{5}\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,x,y > 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy = 8\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 8{\left( {x + y} \right)^2} + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Áp dụng BĐT Buniacopxki ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow P \ge 8{\left( {x + y} \right)^2} + \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} = \frac{{25{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{25}}{2}{\left( {\frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}} \right)^2} = 6 - 4\sqrt 2 \).

Vậy GTNN của \(P\) bằng \(6 - 4\sqrt 2 \) đạt được khi \(x,\,\,y > 0;\,\,\,x + y = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link