Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\)

Câu hỏi số 342847:

Vận dụng

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy.\)

A. \(2)\,\,\min P = 6 - 4\sqrt 2 \)

B. \(2)\,\,\min P = 6 - 2\sqrt 2 \)

C. \(2)\,\,\min P = 3 - 4\sqrt 2 \)

D. \(2)\,\,\min P = 3 - 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:342847

Phương pháp giải

Từ giả thiết, đánh giá \(x + y \ge a\).

+) Phân tích P theo \(x + y\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = 4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1 \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + 9xy + 5\left( {x + y} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9xy \ge 1\end{array}\)

Ta có \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 9xy \le \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge M \ge 1\\ \Leftrightarrow 16{\left( {x + y} \right)^2} + 20\left( {x + y} \right) + 9{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 25{\left( {x + y} \right)^2} + 20\left( {x + y} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y \ge \frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}\\x + y \le \frac{{ - 2 - 2\sqrt 2 }}{5}\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,x,y > 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy = 8\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 8{\left( {x + y} \right)^2} + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Áp dụng BĐT Buniacopxki ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow P \ge 8{\left( {x + y} \right)^2} + \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} = \frac{{25{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{25}}{2}{\left( {\frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}} \right)^2} = 6 - 4\sqrt 2 \).

Vậy GTNN của \(P\) bằng \(6 - 4\sqrt 2 \) đạt được khi \(x,\,\,y > 0;\,\,\,x + y = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.