Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\)

Câu hỏi số 342847:

Vận dụng

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy.\)

A. \(2)\,\,\min P = 6 - 4\sqrt 2 \)

B. \(2)\,\,\min P = 6 - 2\sqrt 2 \)

C. \(2)\,\,\min P = 3 - 4\sqrt 2 \)

D. \(2)\,\,\min P = 3 - 2\sqrt 2 \)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:342847

Phương pháp giải

Từ giả thiết, đánh giá \(x + y \ge a\).

+) Phân tích P theo \(x + y\) và đánh giá.

Giải chi tiết

Với \(x,\,\,y\) là các số thực dương thỏa mãn điều kiện \(4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1,\) tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}M = 4{x^2} + 4{y^2} + 17xy + 5x + 5y \ge 1 \Leftrightarrow \left( {4{x^2} + 8xy + 4{y^2}} \right) + 9xy + 5\left( {x + y} \right) \ge 1\\ \Leftrightarrow 4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + 9xy \ge 1\end{array}\)

Ta có \(xy \le \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \Leftrightarrow 9xy \le \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4}\)

Khi đó:

\(\begin{array}{l}4{\left( {x + y} \right)^2} + 5\left( {x + y} \right) + \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{4} \ge M \ge 1\\ \Leftrightarrow 16{\left( {x + y} \right)^2} + 20\left( {x + y} \right) + 9{\left( {x + y} \right)^2} \ge 4\\ \Leftrightarrow 25{\left( {x + y} \right)^2} + 20\left( {x + y} \right) - 4 \ge 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + y \ge \frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}\\x + y \le \frac{{ - 2 - 2\sqrt 2 }}{5}\,\,\left( {ktm\,\,do\,\,x,y > 0} \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Ta có \(P = 17{x^2} + 17{y^2} + 16xy = 8\left( {{x^2} + {y^2} + 2xy} \right) + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right) = 8{\left( {x + y} \right)^2} + 9\left( {{x^2} + {y^2}} \right)\)

Áp dụng BĐT Buniacopxki ta có: \({\left( {x + y} \right)^2} \le 2\left( {{x^2} + {y^2}} \right) \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} \ge \frac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2}\).

\( \Rightarrow P \ge 8{\left( {x + y} \right)^2} + \frac{{9{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} = \frac{{25{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{2} \ge \frac{{25}}{2}{\left( {\frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}} \right)^2} = 6 - 4\sqrt 2 \).

Vậy GTNN của \(P\) bằng \(6 - 4\sqrt 2 \) đạt được khi \(x,\,\,y > 0;\,\,\,x + y = \frac{{ - 2 + 2\sqrt 2 }}{5}\).

Đáp án cần chọn là: A

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link