Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi \(S\) là tập hợp

Câu hỏi số 347233:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) có đồ thị như hình vẽ dưới đây. Gọi \(S\) là tập hợp tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình \(f\left( {3 - \sqrt {4 - {x^2}} } \right) = m\) có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\). Tìm tập \(S\).

A. \(S = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\)

B. \(S = \left( {f\left( {3 - \sqrt 2 } \right);3} \right]\)

C. \(S = \emptyset \)

D. \(S = \left[ { - 1;3} \right]\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:347233

Phương pháp giải

- Đặt ẩn phụ \(t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}} \).

- Nhận xét số nghiệm của phương trình ẩn \(t\) với số nghiệm của phương trình ẩn \(x\) suy ra điều kiện tương đương phương trình ẩn \(t\).

Giải chi tiết

Đặt \(t = 3 - \sqrt {4 - {x^2}} \) \( \Rightarrow 3 - t = \sqrt {4 - {x^2}} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = 4 - {\left( {3 - t} \right)^2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t \le 3\\{x^2} = \left( {t - 1} \right)\left( {5 - t} \right) \ge 0\end{array} \right. \Rightarrow 1 \le t \le 3\)

Nhận thấy với \(t = 1\) thì \({x^2} = 0 \Leftrightarrow x = 0\) hay với \(t = 1\) thì ta chỉ tìm được đúng một nghiệm \(x\) (loại)

Với \(1 < t \le 3\) thì \({x^2} > 0\) nên ta sẽ tìm được hai giá trị của \(x\) đối nhau.

Do đó để phương trình có hai nghiệm phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\) thì phương trình phải có hai nghiệm phân biệt đối nhau thuộc \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\) và \(x \ne 0\).

Dễ thấy \(x \in \left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 2 } \right]\backslash \left\{ 0 \right\} \Rightarrow {x^2} \in \left( {0;2} \right] \Rightarrow 4 - {x^2} \in \left[ {2;4} \right)\)

\( \Rightarrow \sqrt {4 - {x^2}} \in \left[ {\sqrt 2 ;2} \right) \Rightarrow 3 - \sqrt {4 - {x^2}} \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right] \Rightarrow f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\) vì \(f\left( t \right)\) đồng biến trên \(\left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\).

Phương trình đã cho có hai nghiệm \({x_1},{x_2}\) phân biệt thuộc đoạn \(\left[ { - \sqrt 2 ;\sqrt 3 } \right]\) thì phương trình \(f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất \(t \in \left( {1;3 - \sqrt 2 } \right]\)

\( \Rightarrow m = f\left( t \right) \in \left( {f\left( 1 \right);f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right] = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\).

Vậy \(S = \left( { - 1;f\left( {3 - \sqrt 2 } \right)} \right]\).

Đáp án cần chọn là: A

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.