Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} - 2{x^2} -

Câu hỏi số 355443:

Vận dụng

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} - 2{x^2} - 1:\)

A. Hàm số lẻ

B. Hàm số chẵn

C. Hàm số không lẻ, không chẵn

D. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:355443

Phương pháp giải

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và có đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ \(O.\)

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung \(Oy.\)

Giải chi tiết

Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x \ne 0\) với mọi \(x\).

Suy ra TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Mặt khác \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + x \ne 0\) do đó

\(f(x) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = \frac{{{x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} = - 2x\sqrt {{x^2} + 1} = - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} - 2{x^2} - 1\) là hàm số lẻ.

Đáp án cần chọn là: A

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K11 học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Kiến thức cập nhật theo chương trình mới nhất. Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.