Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} - 2{x^2} -

Câu hỏi số 355443:

Vận dụng

Xét tính chẵn, lẻ của hàm số \(f(x) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} - 2{x^2} - 1:\)

A. Hàm số lẻ

B. Hàm số chẵn

C. Hàm số không lẻ, không chẵn

D. Hàm số vừa chẵn, vừa lẻ

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:355443

Phương pháp giải

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = - f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số lẻ và có đồ thị hàm số đối xứng qua gốc tọa độ \(O.\)

\(\left. \begin{array}{l}\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\\f\left( { - x} \right) = f\left( x \right)\end{array} \right\} \Rightarrow f\left( x \right)\) là hàm số chẵn và có đồ thị hàm số đối xứng qua trục tung \(Oy.\)

Giải chi tiết

Ta có \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} - x \ne 0\) với mọi \(x\).

Suy ra TXĐ: \(D = \mathbb{R}\)

Mặt khác \(\sqrt {{x^2} + 1} > \sqrt {{x^2}} = \left| x \right| \ge - x \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 1} + x \ne 0\) do đó

\(f(x) = \frac{{{{\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt {{x^2} + 1} + x} \right)\left( {\sqrt {{x^2} + 1} - x} \right)}} - 2{x^2} - 1 = \frac{{{x^2} + 2x\sqrt {{x^2} + 1} + {x^2} + 1}}{{{x^2} + 1 - {x^2}}} - 2{x^2} - 1 = 2x\sqrt {{x^2} + 1} \)

Với mọi \(x \in \mathbb{R}\) ta có \( - x \in \mathbb{R}\) và \(f\left( { - x} \right) = 2\left( { - x} \right)\sqrt {{{\left( { - x} \right)}^2} + 1} = - 2x\sqrt {{x^2} + 1} = - f\left( x \right)\)

Do đó \(f\left( x \right) = \frac{{x + \sqrt {{x^2} + 1} }}{{\sqrt {{x^2} + 1} - x}} - 2{x^2} - 1\) là hàm số lẻ.

Tham Gia Group Dành Cho 2K9 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 10 cùng thầy cô giáo giỏi tại Tuyensinh247.com, Cam kết giúp học sinh học tốt, bứt phá điểm 9,10 chỉ sau 3 tháng, hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.