Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA = a$ và $SA$ vuông góc với

Câu hỏi số 382630:

Vận dụng

Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình vuông cạnh $a$ , $SA = a$ và $SA$ vuông góc với mặt đáy. $M$ là trung điểm của $SD$ . Tính khoảng cách giữa $SB$ và $CM$ .

\frac{a \sqrt{3}}{3}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}$

\frac{a \sqrt{3}}{2}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}$

\frac{a \sqrt{3}}{6}

$\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}$

\frac{a \sqrt{2}}{3}

$\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382630

Phương pháp giải

- Gắn hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ các điểm.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng ${d_1},\,\,{d_2}$ : $d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}$ , trong đó $\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}}$ lần lượt là 1 VTCP của ${d_1},\,\,{d_2}$ , ${M_1} \in {d_1},\,\,{M_2} \in {d_2}$ .

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi $a = 1$ ta có:

$S\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {1;0;0} \right)$ ; $C\left( {1;1;0} \right);$ $D\left( {0;1;0} \right)$ .

Vì $M$ là trung điểm của $SD$ nên $M\left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)$ .

Ta có: $\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 1} \right)$ , $\overrightarrow {CM} = \left( { - 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)$ ; $\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right)$ .

$\Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right] = \left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)$ .

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right]} \right|}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{2}.0 + \dfrac{1}{2}.1 - \dfrac{1}{2}.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}$

Vậy $d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.