Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với

Câu hỏi số 382630:

Vận dụng

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), \(SA = a\) và \(SA\) vuông góc với mặt đáy. \(M\) là trung điểm của \(SD\). Tính khoảng cách giữa \(SB\) và \(CM\).

A. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)

B. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

C. \(\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

D. \(\dfrac{{a\sqrt 2 }}{3}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:382630

Phương pháp giải

- Gắn hệ trục tọa độ. Xác định tọa độ các điểm.

- Sử dụng công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \({d_1},\,\,{d_2}\): \(d\left( {{d_1};{d_2}} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right].\overrightarrow {{M_1}{M_2}} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {{u_1}} ;\overrightarrow {{u_2}} } \right]} \right|}}\), trong đó \(\overrightarrow {{u_1}} ,\,\,\overrightarrow {{u_2}} \) lần lượt là 1 VTCP của \({d_1},\,\,{d_2}\), \({M_1} \in {d_1},\,\,{M_2} \in {d_2}\).

Giải chi tiết

Gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ, coi \(a = 1\) ta có:

\(S\left( {0;0;1} \right);\,\,B\left( {1;0;0} \right)\); \(C\left( {1;1;0} \right);\) \(D\left( {0;1;0} \right)\).

Vì \(M\) là trung điểm của \(SD\) nên \(M\left( {0;\dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\).

Ta có: \(\overrightarrow {SB} = \left( {1;0; - 1} \right)\), \(\overrightarrow {CM} = \left( { - 1; - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}} \right)\); \(\overrightarrow {BC} = \left( {0;1;0} \right)\).

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right] = \left( { - \dfrac{1}{2};\dfrac{1}{2}; - \dfrac{1}{2}} \right)\).

Khi đó ta có:

\(\begin{array}{l}d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right].\overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow {SB} ;\overrightarrow {CM} } \right]} \right|}}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \,\dfrac{{\left| { - \dfrac{1}{2}.0 + \dfrac{1}{2}.1 - \dfrac{1}{2}.0} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( {\dfrac{1}{2}} \right)}^2} + {{\left( { - \dfrac{1}{2}} \right)}^2}} }}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \dfrac{{\sqrt 3 }}{3}\end{array}\)

Vậy \(d\left( {SB;CM} \right) = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.