Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$ . Biết rằng \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}}

Câu hỏi số 382631:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$ . Biết rằng ${M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)$ và ${M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)$ là hai điểm trên đồ thị $\left( C \right)$ có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của $\left( C \right)$ nhỏ nhất. Tính giá trị $P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}$ .

$0$

$- 2$

$1$

$- 1$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:382631

Phương pháp giải

- Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

- Gọi $M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)$ $\left( {a \ne - 1} \right)$ . Tính các khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận.

- Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách.

Giải chi tiết

TXĐ: $D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}$ .

Đồ thị hàm số $y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)$ có hai đường tiệm cận là $y = 2;\,\,x = - 1$ .

Gọi $M\left( {a;\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)$ $\left( {a \ne - 1} \right)$ .

Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0$ là:

${d_1} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {\dfrac{{2a - 1 - 2a - 2}}{{a + 1}}} \right|$ $= \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}$ .

Khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $x = - 1 \Leftrightarrow x + 1 = 0$ là:

${d_2} = \dfrac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {a + 1} \right|$ .

Do đó tổng khoảng cách từ $M$ đến hai đường tiệm cận là:

$d = {d_1} + {d_2} = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} + \left| {a + 1} \right|$ $\ge 2\sqrt {\dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}.\left| {a + 1} \right|} = 2\sqrt 3$ (BĐT Cô-si)

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} = \left| {a + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3$ $\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1 + \sqrt 3 \\a = - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)$ .

Với $a = - 1 + \sqrt 3$ ta có ${M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)$ .

Với $a = - 1 - \sqrt 3$ ta có ${M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)$ .

Vậy

$\begin{array}{l}P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\\,\,\,\,\, = \left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 + 4 - 3\\\,\,\,\,\, = - 1\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.