Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\). Biết rằng \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}}

Câu hỏi số 382631:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\). Biết rằng \({M_1}\left( {{x_1};{y_1}} \right)\) và \({M_2}\left( {{x_2};{y_2}} \right)\) là hai điểm trên đồ thị \(\left( C \right)\) có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận của \(\left( C \right)\) nhỏ nhất. Tính giá trị \(P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\).

A. \(0\)

B. \( - 2\)

C. \(1\)

D. \( - 1\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:382631

Phương pháp giải

- Xác định các đường tiệm cận của đồ thị hàm số.

- Gọi \(M\left( {a;\frac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne - 1} \right)\). Tính các khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận.

- Sử dụng BĐT Cô-si để tìm GTNN của tổng khoảng cách.

Giải chi tiết

TXĐ: \(D = \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 1} \right\}\).

Đồ thị hàm số \(y = \dfrac{{2x - 1}}{{x + 1}}\,\,\left( C \right)\) có hai đường tiệm cận là \(y = 2;\,\,x = - 1\).

Gọi \(M\left( {a;\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}}} \right) \in \left( C \right)\) \(\left( {a \ne - 1} \right)\).

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(y = 2 \Leftrightarrow y - 2 = 0\) là:

\({d_1} = \dfrac{{\left| {\dfrac{{2a - 1}}{{a + 1}} - 2} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} }} = \left| {\dfrac{{2a - 1 - 2a - 2}}{{a + 1}}} \right|\)\( = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}\).

Khoảng cách từ \(M\) đến đường thẳng \(x = - 1 \Leftrightarrow x + 1 = 0\) là:

\({d_2} = \dfrac{{\left| {a + 1} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {0^2}} }} = \left| {a + 1} \right|\).

Do đó tổng khoảng cách từ \(M\) đến hai đường tiệm cận là:

\(d = {d_1} + {d_2} = \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} + \left| {a + 1} \right|\) \( \ge 2\sqrt {\dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}}.\left| {a + 1} \right|} = 2\sqrt 3 \) (BĐT Cô-si)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \dfrac{3}{{\left| {a + 1} \right|}} = \left| {a + 1} \right| \Leftrightarrow {\left( {a + 1} \right)^2} = 3\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = - 1 + \sqrt 3 \\a = - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\,\,\left( {tm} \right)\).

Với \(a = - 1 + \sqrt 3 \) ta có \({M_1}\left( { - 1 + \sqrt 3 ;2 - \sqrt 3 } \right)\).

Với \(a = - 1 - \sqrt 3 \) ta có \({M_2}\left( { - 1 - \sqrt 3 ;2 + \sqrt 3 } \right)\).

Vậy

\(\begin{array}{l}P = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}\\\,\,\,\,\, = \left( { - 1 + \sqrt 3 } \right)\left( { - 1 - \sqrt 3 } \right) + \left( {2 - \sqrt 3 } \right)\left( {2 + \sqrt 3 } \right)\\\,\,\,\,\, = {\left( { - 1} \right)^2} - 3 + 4 - 3\\\,\,\,\,\, = - 1\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.