Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\).
Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là trung điểm của \(B'C'\) và \(C'D'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia hình hộp đó thành hai hình đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\), trong đó \(\left( H \right)\) là hình đa diện chứa đỉnh \(A'\). Tính tỉ số giữa thể tích hình đa diện \(\left( H \right)\) và thể tích hình đa diện \(\left( {H'} \right)\).
Đáp án đúng là: C
Quảng cáo
- Xác định thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\).
- Đặt thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) là \(V\).
- Tính thể tích khối đa diện \(\left( H \right)\) bằng phương pháp phân chia khối đa diện.
Trong \(\left( {A'B'C'D'} \right)\), gọi \(I,J\) lần lượt là giao điểm của \(EF\) với \(A'B'\) và \(A'D'\).
Trong \(\left( {ADD'A'} \right)\), gọi \(M = AJ \cap D'D\).
Trong \(\left( {ABB'A'} \right)\), gọi \(L = AI \cap BB'\).
Khi đó thiết diện của hình hộp khi cắt bởi \(\left( {AEF} \right)\) là ngũ giác \(AMFEL\).
Khi đó \(\left( H \right)\) là khối đa diện chứ đỉnh \(A'\) và \({V_{\left( H \right)}} = {V_{A.A'IJ}} - {V_{M.D'JF}} - {V_{L.B'IE}}\).
Gọi \({V_0}\) là thể tích khối tứ diện\(A.A'IJ\). \(V\) là thể tích khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\).
Vì \(EB' = EC'\) và \(B'I//C'F\) nên \(IB' = FC' = \dfrac{{A'B'}}{2}\)
Do đó \(\dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)
Mà \(BE'//A'J\;\), \(B'L//AA'\) \( \Rightarrow \dfrac{{IL}}{{IA}} = \dfrac{{IE}}{{IJ}} = \dfrac{{IB'}}{{IA'}} = \dfrac{1}{3}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{I.ELB'}}}}{{{V_{I.JAA'}}}} = \dfrac{{IL}}{{IA}}.\dfrac{{IE}}{{IJ}}.\dfrac{{LE}}{{AJ}} = {\left( {\dfrac{1}{3}} \right)^3} = \dfrac{1}{{27}}\)
Do đó \({V_{I.ELB'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)
Tương tự \({V_{J.MFD'}} = \dfrac{1}{{27}}{V_0}\)
Gọi \(A'B' = a,B'C' = b\), đường cao hạ từ \(A\) xuống \(\left( {A'B'C'D'} \right)\) là \(h\) thì \(IA' = \dfrac{3}{2}A'B' = \dfrac{{3a}}{2};\) \(A'J = \dfrac{3}{2}A'D' = \dfrac{{3b}}{2}\) và
\(V = {V_{ABCD.A'B'C'D'}}\)\( = {S_{A'B'C'D'}}h = abh.\sin \widehat {B'A'D'}\);
\({V_0} = \dfrac{1}{3}{S_{A'IJ}}.h\) \( = \dfrac{1}{3}.\left( {\dfrac{1}{2}.\dfrac{{3a}}{2}.\dfrac{{3b}}{2}\sin \widehat {B'A'D'}} \right)h\) \( = \dfrac{3}{8}abh.\sin \widehat {B'A'D'}\)
\( \Rightarrow \dfrac{{{V_0}}}{V} = \dfrac{3}{8} \Rightarrow {V_0} = \dfrac{{3V}}{8}\)
Vậy \({V_{(H)}} = {V_0} - \dfrac{2}{{27}}{V_0}\)\( = \dfrac{{25}}{{27}}{V_0} = \dfrac{{25}}{{27}}.\dfrac{{3V}}{8} = \dfrac{{25}}{{72}}V\)
\({V_{(H')}} = V - {V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{47}}{{72}}V\) \( \Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{{25}}{{47}}\).
Công thức tỉ số thể tích của hai khối chóp tam giác \(S.A'B'C'\) và \(S.ABC\) với \(A' \in SA,B' \in SB,C' \in SC\) là \(\dfrac{{{V_{S.A'B'C'}}}}{{{V_{S.ABC}}}} = \dfrac{{SA'}}{{SA}}.\dfrac{{SB'}}{{SB}}.\dfrac{{SC'}}{{SC}}\).
Đáp án cần chọn là: C
Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí
>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
