Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,BC = b,AA' = c$ . Gọi $E$ và $F$ lần lượt là

Câu hỏi số 383128:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ có $AB = a,BC = b,AA' = c$ . Gọi $E$ và $F$ lần lượt là những điểm thuộc cạnh $BB'$ và $DD'$ sao cho $BE = \dfrac{1}{2}EB',DF = \dfrac{1}{2}FD'$ . Mặt phẳng $\left( {AEF} \right)$ chia khối hộp chữ nhật $ABCD.A'B'C'D'$ thành hai khối đa diện $\left( H \right)$ và $\left( {H'} \right)$ . Gọi $\left( {H'} \right)$ là khối đa diện chứa đỉnh $A'$ . Hãy tính thể tích của $\left( H \right)$ và tỉ số thể tích của $\left( H \right)$ và $\left( {H'} \right)$ .

${V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{3},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{2}$

${V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{2},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{3}$

${V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{3},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{3}$

${V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{2},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{2}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:383128

Phương pháp giải

- Tính thể tích các khối đa diện, sử dụng phương pháp phân chia khối đa diện.

- Từ đó suy ra tỉ số.

Giải chi tiết

Gọi $I = CC' \cap \left( {AEF} \right)$ .

Vì $\left\{ \begin{array}{l}\left( {AEF} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AE\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = FI\\\left( {ABB'A'} \right)//\left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right.$ nên $AE//FI$ .

Tương tự $AF//EI$ nên tứ giác $AEIF$ là hình bình hành.

Trên cạnh $CC'$ lấy điểm $J$ sao cho $CJ = DF$ .

Dễ thấy $FJ//CD//AB,$ $FI = CD = AB$ nên $ABJF$ là hình bình hành $\Rightarrow AF//BJ,AF = BJ$ .

Suy ra $EI//BJ,EI = BJ$ hay $EBJI$ là hình bình hành $\Rightarrow BE = JI$ .

Từ đó suy ra $IJ = EB = DF = JC = \dfrac{c}{3}$

Ta có ${S_{BCIE}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)b = \dfrac{{bc}}{2}$ ; ${S_{DCIF}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)a = \dfrac{{ac}}{2}$

Nên ${V_{(H)}} = {V_{A.BCIE}} + {V_{A.DCIF}}$ $= \dfrac{1}{3}.\dfrac{{bc}}{2}.a + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ac}}{2}.b = \dfrac{{abc}}{3}$

Lại có ${V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc$ $\Rightarrow {V_{(H')}} = \dfrac{2}{3}abc$

$\Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{1}{2}$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.