Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,BC = b,AA' = c\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là

Câu hỏi số 383128:

Vận dụng

Cho hình hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) có \(AB = a,BC = b,AA' = c\). Gọi \(E\) và \(F\) lần lượt là những điểm thuộc cạnh \(BB'\) và \(DD'\) sao cho \(BE = \dfrac{1}{2}EB',DF = \dfrac{1}{2}FD'\). Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chia khối hộp chữ nhật \(ABCD.A'B'C'D'\) thành hai khối đa diện \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\). Gọi \(\left( {H'} \right)\) là khối đa diện chứa đỉnh \(A'\). Hãy tính thể tích của \(\left( H \right)\) và tỉ số thể tích của \(\left( H \right)\) và \(\left( {H'} \right)\).

A. \({V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{3},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{2}\)

B. \({V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{2},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{3}\)

C. \({V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{3},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{3}\)

D. \({V_{\left( H \right)}} = \dfrac{{abc}}{2},\,\,\dfrac{{{V_{\left( H \right)}}}}{{{V_{\left( {H'} \right)}}}} = \dfrac{1}{2}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:383128

Phương pháp giải

- Tính thể tích các khối đa diện, sử dụng phương pháp phân chia khối đa diện.

- Từ đó suy ra tỉ số.

Giải chi tiết

Gọi \(I = CC' \cap \left( {AEF} \right)\).

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}\left( {AEF} \right) \cap \left( {ABB'A'} \right) = AE\\\left( {AEF} \right) \cap \left( {CDD'C'} \right) = FI\\\left( {ABB'A'} \right)//\left( {CDD'C'} \right)\end{array} \right.\) nên \(AE//FI\).

Tương tự \(AF//EI\) nên tứ giác \(AEIF\) là hình bình hành.

Trên cạnh \(CC'\) lấy điểm \(J\) sao cho \(CJ = DF\).

Dễ thấy \(FJ//CD//AB,\) \(FI = CD = AB\) nên \(ABJF\) là hình bình hành \( \Rightarrow AF//BJ,AF = BJ\).

Suy ra \(EI//BJ,EI = BJ\) hay \(EBJI\) là hình bình hành \( \Rightarrow BE = JI\).

Từ đó suy ra \(IJ = EB = DF = JC = \dfrac{c}{3}\)

Ta có \({S_{BCIE}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)b = \dfrac{{bc}}{2}\); \({S_{DCIF}} = \dfrac{1}{2}\left( {\dfrac{{c + 2c}}{3}} \right)a = \dfrac{{ac}}{2}\)

Nên \({V_{(H)}} = {V_{A.BCIE}} + {V_{A.DCIF}}\)\( = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{bc}}{2}.a + \dfrac{1}{3}.\dfrac{{ac}}{2}.b = \dfrac{{abc}}{3}\)

Lại có \({V_{ABCD.A'B'C'D'}} = abc\) \( \Rightarrow {V_{(H')}} = \dfrac{2}{3}abc\)

\( \Rightarrow \dfrac{{{V_{(H)}}}}{{{V_{(H')}}}} = \dfrac{1}{2}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.