Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có

Câu hỏi số 384319:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = f\left( x \right)\) liên tục trên \(\mathbb{R}\) và có đồ thị như hình vẽ bên. Có bao nhiêu giá trị nguyên của \(m\) để phương trình \(f\left( {2\log { _2}x} \right) = m\) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ {\frac{1}{2};\,\,2} \right).\)

A. \(6.\)

\(5.\)

C. \(4.\)

D. \(9.\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:384319

Phương pháp giải

Số nghiệm của phương trình \(f\left( x \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right)\) và đường thẳng \(y = m.\)

Giải chi tiết

Đặt \(2{\log _2}x = t \Rightarrow {\log _2}x = \frac{1}{2}t \Rightarrow x = {2^{\frac{1}{2}t}} = {\left( {\sqrt 2 } \right)^t}.\)

Với \(x = \frac{1}{2} \Rightarrow t = - 2.\)

Với \(x = 2 \Rightarrow t = 2.\)

\( \Rightarrow x \in \left[ {\frac{1}{2};\,\,2} \right) \Rightarrow t \in \left[ { - 2;\,\,2} \right).\)

Khi đó ta có đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) có dáng điệu như đồ thị của hàm số \(f\left( x \right).\)

\( \Rightarrow \) Phương trình \(f\left( {2{{\log }_2}x} \right) = m\) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ {\frac{1}{2};\,\,2} \right) \Leftrightarrow f\left( t \right) = m\) có nghiệm duy nhất trên \(\left[ { - 2;\,\,2} \right).\)

Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) và đường thẳng \(y = m.\)

Dựa vào đồ thị hàm số ta có đường thẳng \(y = m\) cắt đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\) tại một điểm trên \(\left[ { - 2;\,\,2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow - 2 \le m \le 2.\\ \Rightarrow m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m \in \left\{ { - 2;\, - 1;\,\,0;\,\,1;\,\,2} \right\}.\end{array}\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.