Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $2020.$ Gọi $M,\,\,N$ và $P$ lần lượt là

Câu hỏi số 387065:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ $ABC.A'B'C'$ có thể tích bằng $2020.$ Gọi $M,\,\,N$ và $P$ lần lượt là các điểm thỏa mãn $\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MC'} ,\,\,\overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NA'}$ và $\overrightarrow {PB} = - 3\overrightarrow {PC'} .$ Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm $A',\,\,B',\,\,C',\,\,M,\,\,N,\,\,P.$

$620$

$505$

$\dfrac{{2525}}{3}$

$\dfrac{{2020}}{3}$

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:387065

Phương pháp giải

${V_{MNP.A'B'C'}} = {V_{MNPA'C'}} + {V_{B'.A'C'PN}}$ .

Giải chi tiết

Đặt $V = {V_{ABC.A'B'C'}}$ .

Ta có: ${S_{A'C'M}} = \dfrac{1}{2}{S_{AA'C'}} = \dfrac{1}{4}{S_{ACC'A'}}$ .

$\Rightarrow {V_{B.A'C'M}} = \dfrac{1}{4}{V_{B.ACC'A'}}$ . Mà ${V_{B.ACC'A'}} = \dfrac{2}{3}V$ $\Rightarrow {V_{B.A'C'M}} = \dfrac{1}{6}V$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{B.MNP}}}}{{{V_{B.MA'C'}}}} = \dfrac{{BN}}{{BA'}}.\dfrac{{BP}}{{BC'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {V_{B.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.MA'C'}}\\ \Rightarrow {V_{MNP.A'C'}} = {V_{B.MA'C'}} - {V_{B.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.MA'C'}}\\ \Rightarrow {V_{MNP.A'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{6}V = \dfrac{V}{{12}}\end{array}$

$\Rightarrow {V_{MNP.A'C'}} = \dfrac{{2020}}{{12}} = \dfrac{{505}}{3}$ .

Ta có: $\dfrac{{{S_{BNP}}}}{{{S_{BA'C'}}}} = \dfrac{{BN}}{{BA'}}.\dfrac{{BP}}{{BC'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}$

$\Rightarrow {S_{A'C'PN}} = {S_{BA'C'}} - {S_{BNP}} = \dfrac{1}{2}{S_{BA'C'}}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{B'.A'C'NP}} = \dfrac{1}{2}{V_{B'.BA'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}V = \dfrac{1}{6}V\\ \Rightarrow {V_{B'.A'C'NP}} = \dfrac{{1010}}{3}\end{array}$

Vậy ${V_{MNP.A'B'C'}} = {V_{MNP.A'B'C'}} = {V_{MNPA'C'}} + {V_{B'.A'C'PN}} = \dfrac{{505}}{3} + \dfrac{{1010}}{3} = 505$ .

Chọn B.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.