Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(2020.\) Gọi \(M,\,\,N\) và \(P\) lần lượt là

Câu hỏi số 387065:

Vận dụng

Cho khối lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có thể tích bằng \(2020.\) Gọi \(M,\,\,N\) và \(P\) lần lượt là các điểm thỏa mãn \(\overrightarrow {MA} = - \overrightarrow {MC'} ,\,\,\overrightarrow {NB} = - 2\overrightarrow {NA'} \) và \(\overrightarrow {PB} = - 3\overrightarrow {PC'} .\) Tính thể tích khối đa diện lồi có các đỉnh là các điểm \(A',\,\,B',\,\,C',\,\,M,\,\,N,\,\,P.\)

A. \(620\)

B. \(505\)

C. \(\dfrac{{2525}}{3}\)

D. \(\dfrac{{2020}}{3}\)

Đáp án đúng là: B

Xem lời giải

Câu hỏi:387065

Phương pháp giải

\({V_{MNP.A'B'C'}} = {V_{MNPA'C'}} + {V_{B'.A'C'PN}}\).

Giải chi tiết

Đặt \(V = {V_{ABC.A'B'C'}}\).

Ta có: \({S_{A'C'M}} = \dfrac{1}{2}{S_{AA'C'}} = \dfrac{1}{4}{S_{ACC'A'}}\).

\( \Rightarrow {V_{B.A'C'M}} = \dfrac{1}{4}{V_{B.ACC'A'}}\). Mà \({V_{B.ACC'A'}} = \dfrac{2}{3}V\) \( \Rightarrow {V_{B.A'C'M}} = \dfrac{1}{6}V\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{{V_{B.MNP}}}}{{{V_{B.MA'C'}}}} = \dfrac{{BN}}{{BA'}}.\dfrac{{BP}}{{BC'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\\ \Rightarrow {V_{B.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.MA'C'}}\\ \Rightarrow {V_{MNP.A'C'}} = {V_{B.MA'C'}} - {V_{B.MNP}} = \dfrac{1}{2}{V_{B.MA'C'}}\\ \Rightarrow {V_{MNP.A'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{6}V = \dfrac{V}{{12}}\end{array}\)

\( \Rightarrow {V_{MNP.A'C'}} = \dfrac{{2020}}{{12}} = \dfrac{{505}}{3}\).

Ta có: \(\dfrac{{{S_{BNP}}}}{{{S_{BA'C'}}}} = \dfrac{{BN}}{{BA'}}.\dfrac{{BP}}{{BC'}} = \dfrac{2}{3}.\dfrac{3}{4} = \dfrac{1}{2}\)

\( \Rightarrow {S_{A'C'PN}} = {S_{BA'C'}} - {S_{BNP}} = \dfrac{1}{2}{S_{BA'C'}}\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {V_{B'.A'C'NP}} = \dfrac{1}{2}{V_{B'.BA'C'}} = \dfrac{1}{2}.\dfrac{1}{3}V = \dfrac{1}{6}V\\ \Rightarrow {V_{B'.A'C'NP}} = \dfrac{{1010}}{3}\end{array}\)

Vậy \({V_{MNP.A'B'C'}} = {V_{MNP.A'B'C'}} = {V_{MNPA'C'}} + {V_{B'.A'C'PN}} = \dfrac{{505}}{3} + \dfrac{{1010}}{3} = 505\).

Chọn B.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.