Cho tích phân \(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} \). Nếu đổi biến số

Câu hỏi số 399239:

Vận dụng

Cho tích phân \(I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx} \). Nếu đổi biến số \(t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}\) thì:

A. \(I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} \)

B. \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt} \)

C. \(I = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} \)

D. \(I = \int\limits_2^3 {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt} \)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:399239

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt \(t = u\left( x \right)\), đổi cận \(\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.\) .

- Bước 2: Tính vi phân \(dt = u'\left( x \right)dx\).

- Bước 3: Biến đổi \(f\left( x \right)dx\) thành \(g\left( t \right)dt\).

- Bước 4: Tính tích phân \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt} \).

Giải chi tiết

Đặt \(t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}\)

\( \Rightarrow 2tdt = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \dfrac{{dx}}{{{x^3}}} = - \dfrac{{dx}}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}\)

Và \({t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{{{t^2} - 1}}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{dx}}{x} = - \dfrac{t}{{{t^2} - 1}}dt\)

Đổi cận: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.\)

Khi đó ta có: \(I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} .\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.