Cho tích phân $I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx}$ . Nếu đổi biến số

Câu hỏi số 399239:

Vận dụng

Cho tích phân $I = \int\limits_1^{\sqrt 3 } {\dfrac{{\sqrt {1 + {x^2}} }}{{{x^2}}}dx}$ . Nếu đổi biến số $t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x}$ thì:

I = - \frac{2}{\sqrt{3}} \int \sqrt{2} \frac{t^{2}}{t^{2} - 1} d t

$I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt}$

I = 3 \int 2 \frac{t^{2}}{t^{2} + 1} d t

$I = \int\limits_2^3 {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} + 1}}dt}$

I = \frac{2}{\sqrt{3}} \int \sqrt{2} \frac{t^{2}}{t^{2} - 1} d t

$I = \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt}$

I = 3 \int 2 \frac{t}{t^{2} + 1} d t

$I = \int\limits_2^3 {\dfrac{t}{{{t^2} + 1}}dt}$

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:399239

Phương pháp giải

- Bước 1: Đặt $t = u\left( x \right)$ , đổi cận $\left\{ \begin{array}{l}x = a \Rightarrow t = u\left( a \right) = a'\\x = b \Rightarrow t = u\left( b \right) = b'\end{array} \right.$ .

- Bước 2: Tính vi phân $dt = u'\left( x \right)dx$ .

- Bước 3: Biến đổi $f\left( x \right)dx$ thành $g\left( t \right)dt$ .

- Bước 4: Tính tích phân $\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = \int\limits_{a'}^{b'} {g\left( t \right)dt}$ .

Giải chi tiết

Đặt $t = \dfrac{{\sqrt {{x^2} + 1} }}{x} \Leftrightarrow {t^2} = \dfrac{{{x^2} + 1}}{{{x^2}}} = 1 + \dfrac{1}{{{x^2}}}$

$\Rightarrow 2tdt = - \dfrac{2}{{{x^3}}}dx \Rightarrow tdt = - \dfrac{{dx}}{{{x^3}}} = - \dfrac{{dx}}{x}.\dfrac{1}{{{x^2}}}$

Và ${t^2}{x^2} = {x^2} + 1 \Rightarrow {x^2}\left( {{t^2} - 1} \right) = 1 \Leftrightarrow {x^2} = \dfrac{1}{{{t^2} - 1}}$

$\Rightarrow \dfrac{{dx}}{x} = - \dfrac{t}{{{t^2} - 1}}dt$

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 1 \Rightarrow t = \sqrt 2 \\x = \sqrt 3 \Rightarrow t = \dfrac{2}{{\sqrt 3 }}\end{array} \right.$

Khi đó ta có: $I = - \int\limits_{\sqrt 2 }^{\frac{2}{{\sqrt 3 }}} {\dfrac{{{t^2}}}{{{t^2} - 1}}dt} .$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.