Tam giác \(ABC\) đều độ dài cạnh \(4cm\), các cung tròn \(DE,\,\,\,EF,\,\,FD\) thuộc ba đường tròn

Câu hỏi số 402587:

Vận dụng

Tam giác \(ABC\) đều độ dài cạnh \(4cm\), các cung tròn \(DE,\,\,\,EF,\,\,FD\) thuộc ba đường tròn có bán kính \(2cm\) và có tâm lần lượt là ba điểm \(C,\,\,\,A,\,\,\,B.\) Tính diện tích phần gạch chéo trên hình vẽ.

(kết quả là số đúng không làm tròn).

A. \(4\sqrt{3} + 2\pi \,\,\left ( cm \right )^{2}\)

B. \(4\sqrt{3} - 2\pi \,\,\left ( cm \right )^{2}\)

C. \(2\sqrt{3} - 2\pi \,\,\left ( cm \right )^{2}\)

D. \(2\sqrt{3} + 2\pi \,\,\left ( cm \right )^{2}\)

Đáp án đúng là: B

Phương pháp giải

Diện tích phần gạch chéo bằng diện tích tam giác \(ABC\) trừ đi diện tích 3 lần diện tích hình quạt tròn tâm \(C,\,\,A,\,\,B\) bán kính \(\frac{{AB}}{2}.\)

Công thức tính diện tích cung tròn \({n^0},\) bán kính \(R\) là: \(S = \frac{{\pi {R^2}n}}{{360}}.\)

Giải chi tiết

Có \(D\) là trung điểm của \(BC \Rightarrow AD\) là đường cao của \(\Delta ABC.\)

Áp dụng định lý Pitago cho \(\Delta ABD\) vuông tại \(D\) ta có:

\(\begin{array}{l}AD = \sqrt {A{B^2} - B{D^2}} = \sqrt {{4^2} - {2^2}} = 2\sqrt 3 \,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}.AD.BC = \frac{1}{2}.2\sqrt 3 .4 = 4\sqrt 3 \,\,\left( {c{m^2}} \right).\end{array}\)

Ta có: diện tích các cung \(EF,\,\,FD,\,\,DE\) lần lượt là diện tích các hình quạt tròn tâm \(A,\,\,B,\,\,C\) bán kính \(2cm.\)

Lại có: \(\Delta ABC\) đều \( \Rightarrow \angle A = \angle B = \angle C = {60^0}.\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow {S_{cung\,\,EF}} = {S_{cung\,\,FD}} = {S_{cung\,\,ED}}\\ = \frac{{\pi {R^2}.\angle A}}{{360}} = \frac{{\pi {{.2}^2}.60}}{{360}} = \frac{{2\pi }}{3}\,\,\left( {c{m^2}} \right).\end{array}\)

Vậy diện tích phần gạch chéo là: \(S = {S_{\Delta ABC}} - 3{S_{cung\,EF}}\)\( = 4\sqrt 3 - 3.\frac{{2\pi }}{3} = 4\sqrt 3 - 2\pi \,\,\,\left( {c{m^2}} \right).\)

Xem lời giải Hỏi đáp / Thảo luận

Câu hỏi:402587

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.