Cho hai khối nón có chung trục \(SS' = 3r\). Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm

Câu hỏi số 407599:

Vận dụng

Cho hai khối nón có chung trục \(SS' = 3r\). Khối nón thứ nhất có đỉnh S, đáy là hình tròn tâm S’ bán kính \(2r\). Khối nón thứ hai có đỉnh S’, đáy là hình tròn tâm S bán kính \(r\). Thể tích phần chung của hai khối nón đã cho bằng:

A. \(\dfrac{{4\pi {r^3}}}{{27}}\)

B. \(\dfrac{{\pi {r^3}}}{9}\)

C. \(\dfrac{{4\pi {r^3}}}{9}\)

D. \(\dfrac{{4\pi {r^3}}}{3}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:407599

Phương pháp giải

- Xác định thể tích phần chung là thể tích của hai khối nón.

- Sử dụng định lí Ta-lét để tính chiều cao và bán kính đáy của từng khối nón.

- Sử dụng công thức tính thể tích khối nón: Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Giả giử một mặt phẳng chứa trục SS’ cắt hình nón đỉnh S theo một thiết diện qua trục là \(\Delta SAB\), cắt hình nón S’ theo một thiết diện qua trục là \(\Delta S'CD\).

Gọi \(M = SA \cap S'D,\,\,N = SB \cap S'C\), \(H = SS' \cap MN\).

Dễ thấy \(AB\parallel CD\) (cùng vuông góc với SS’), do đó áp dụng định lí Ta-lét ta có:

\(\dfrac{{SM}}{{AM}} = \dfrac{{SD}}{{S'A}} = \dfrac{r}{{2r}} = \dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{{SN}}{{BN}} = \dfrac{{SC}}{{S'B}} = \dfrac{r}{{2r}} = \dfrac{1}{2}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{SM}}{{AM}} = \dfrac{{SN}}{{BN}} \Rightarrow MN\parallel AB\parallel CD\) (Định lí Ta-lét đảo).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{{SH}}{{SS'}} = \dfrac{{MH}}{{S'A}} = \dfrac{{SM}}{{SA}} = \dfrac{1}{3}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}SH = \dfrac{1}{3}SS' = \dfrac{1}{3}.3r = r\\MH = \dfrac{1}{3}S'A = \dfrac{1}{3}.2r = \dfrac{{2r}}{3}\end{array} \right.\end{array}\)

\( \Rightarrow HS' = SS' - SH = 3r - r = 2r\).

Thể tích phần chung của hai khối nón bao gồm:

+ \({V_1}\) là thể tích khối nón đỉnh S có chiều cao \({h_1} = SH = r\), bán kính \({R_1} = MH = \dfrac{{2r}}{3}\)

\( \Rightarrow {V_1} = \dfrac{1}{3}\pi R_1^2{h_1} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{2r}}{3}} \right)^2}.r = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{{27}}\).

+ \({V_2}\) là thể tích khối nón đỉnh \({S_1}\) có chiều cao \({h_2} = S'H = 2r\), bán kính \({R_2} = MH = \dfrac{{2r}}{3}\)

\( \Rightarrow {V_2} = \dfrac{1}{3}\pi R_2^2{h_2} = \dfrac{1}{3}\pi .{\left( {\dfrac{{2r}}{3}} \right)^2}.2r = \dfrac{{8\pi {r^3}}}{{27}}\).

Vậy thể tích phần chung của hai khối nón là: \(V = {V_1} + {V_2} = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{{27}} + \dfrac{{8\pi {r^3}}}{{27}} = \dfrac{{4\pi {r^3}}}{9}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.