Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = BC = a\sqrt 2 \). Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng đi qua B và

Câu hỏi số 407598:

Vận dụng

Cho tam giác vuông cân ABC có \(AB = BC = a\sqrt 2 \). Khi quay tam giác ABC quanh đường thẳng đi qua B và song song với AC ta thu được một khối tròn xoay có thể tích bằng:

A. \(2\pi {a^3}\)

B. \(\dfrac{{2\pi {a^3}}}{3}\)

C. \(\dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}\)

D. \(\pi {a^3}\)

Đáp án đúng là: C

Xem lời giải

Câu hỏi:407598

Phương pháp giải

Sử dụng các công thức sau:

- Thể tích khối trụ có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \pi {r^2}h\).

- Thể tích khối nón có chiều cao h, bán kính đáy r là \(V = \dfrac{1}{3}\pi {r^2}h\).

Giải chi tiết

Gọi H là trung điểm của AC \( \Rightarrow BH \bot AC\) (do tam giác ABC vuông cân tại B).

Gọi \({V_1}\) là thể tích khối trụ có chiều cao \({h_1} = AC\), bán kính đáy \({r_1} = BH\).

Gọi \({V_2}\) là thể tích khối trụ có chiều cao \({h_2} = AH\), bán kính đáy \({r_2} = BH\).

Khi đó thể tích khối tròn xoay sinh bởi tam giác ABC khi quay quanh đường thẳng d đi qua B và song song với AC là \(V = {V_1} - 2{V_2}\).

Do tam giác ABC vuông cân tại B có \(AB = BC = a\sqrt 2 \) \( \Rightarrow AC = AB\sqrt 2 = a\sqrt 2 .\sqrt 2 = 2a\).

\( \Rightarrow BH = \dfrac{1}{2}AC = AH = a\).

Khi đó ta có: \({V_1} = \pi r_1^2{h_1} = \pi .a.2a = 2\pi {a^3}\), \({V_2} = \dfrac{1}{3}\pi r_2^2{h_2} = \dfrac{1}{3}\pi .{a^2}.a = \dfrac{{\pi {a^3}}}{3}\).

Vậy \(V = {V_1} - 2{V_2} = 2\pi {a^3} - 2.\dfrac{{\pi {a^3}}}{3} = \dfrac{{4\pi {a^3}}}{3}\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.