Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA > 2R\).
Cho đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R\) và điểm \(A\) nằm ngoài đường tròn sao cho \(OA > 2R\). Từ \(A\) kẻ hai tiếp tuyến \(AD,AE\) đến đường tròn \(\left( O \right)\) (\(D,E\) là hai tiếp điểm).
Lấy điểm \(M\) nằm trên cung nhỏ \(DE\) sao cho \(MD > ME\). Tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(M\) cắt \(AD\), \(AE\) lần lượt tại \(I,J\). Đường thẳng \(DE\) cắt \(OJ\) tại \(F\).
a) Chứng minh \(OJ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(ME\) và \(\angle OMF = \angle OEF\).
b) Chứng minh tứ giác \(ODIM\) nội tiếp và 5 điểm \(I,D,O,F,M\) cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh \(\angle JOM = \angle IOA\) và \(\sin \angle IOA = \dfrac{{MF}}{{IO}}\).
a) Chứng minh \(OJ\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(ME\) và \(\angle OMF = \angle OEF\).
Ta có: \(AE,IJ\) là các tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E,M\).
Mà \(AE \cap JI = \left\{ J \right\}\) nên \(JE = JM\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có \(OE = OM\,\,\left( { = R} \right)\) nên \(OJ\) là đường trung trực của đoạn \(ME\) (đpcm)
Xét \(\Delta OEF\) và \(\Delta OMF\) có:
\(OF\,chung\);
\(\angle EOF = \angle MOF\) (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
\(\begin{array}{l}OE = OM\,\,\,\left( { = R} \right)\\ \Rightarrow \Delta OEF = \Delta OMF\left( {c - g - c} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle OMF = \angle OEF\) (góc tương ứng) (đpcm).
b) Chứng minh tứ giác \(ODIM\) nội tiếp và 5 điểm \(I,D,O,F,M\) cùng nằm trên một đường tròn.
Vì \(AD\) là tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(D\) nên \(AD \bot OD \Rightarrow \angle ODA = {90^0}\) \( \Rightarrow \angle ODI = {90^0}\).
\(MI\) là tiếp tuyến với \(\left( O \right)\) tại \(M\) nên \(OM \bot MI \Rightarrow \angle OMI = {90^0}\)
Tứ giác \(ODIM\) có: \(\angle ODI + \angle OMI = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
Vậy tứ giác \(ODIM\) là tứ giác nội tiếp.
Theo câu a, \(\angle EOF = \angle MOF \Rightarrow \angle EOM = 2\angle MOF\)
\( \Rightarrow \angle MOF = \dfrac{1}{2}\angle EOM = \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,\,ME\) (góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Mà \(\angle MDF = \angle MDE = \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,\,ME\) (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
Nên \(\angle MOF = \angle MDF\,\,\,\left( { = \dfrac{1}{2}sd\,\,cung\,\,ME} \right)\)
Xét tứ giác \(OFMD\) có \(\angle MOF = \angle MDF\,\,\left( {cmt} \right)\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau).
Do đó các điểm O, F, M, D cùng thuộc một đường tròn.
Mà tức giác ODIM nội tiếp (cmt) nên các điểm O, D, I, M cùng thuộc một đường tròn.
Vậy 5 điểm O, D, I, M, F cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh \(\angle JOM = \angle IOA\) và \(\sin \angle IOA = \dfrac{{MF}}{{IO}}\).
Xét \(\Delta MOI\) và \(\Delta DOI\) có:
\(\begin{array}{l}OM = OD\,\,\,\left( { = R} \right)\\OI\,\,chung\end{array}\)
\(IM = ID\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\( \Rightarrow \Delta MOI = \Delta DOI\,\,\,\left( {c - c - c} \right)\)
\( \Rightarrow \angle MIO = \angle DIO\) (hai góc tương ứng).
Tứ giác \(OFMI\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle OFM + \angle MIO = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp).
Mà \(\angle MIO = \angle DIO\,\,\left( {cmt} \right)\) nên \(\angle OFM + \angle DIO = {180^0}\).
Lại có \(\angle OIA + \angle DIO = {180^0}\) . Do đó \(\angle OFM = \angle OIA\).
Xét tứ giác \(OEAD\) có \(\angle OEA + \angle ODA = {90^0} + {90^0} = {180^0}\) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng \({180^0}\)).
\( \Rightarrow \angle OED = \angle OAD\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(OD\)).
Mà \(\angle OED = \angle OEF = \angle OMF\) (theo câu b)
Nên \(\angle OMF = \angle OAD = \angle OAI\).
Xét \(\Delta OFM\) và \(\Delta OIA\) có:
\(\begin{array}{l}\angle OFM = \angle OIA\,\,\,\left( {cmt} \right)\\\angle OMF = \angle OAI\,\,\left( {cmt} \right)\\ \Rightarrow \Delta OFM \sim \Delta OIA\,\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)
\( \Rightarrow \angle FOM = \angle IOA\) (hai góc tương ứng).
\( \Rightarrow \angle JOM = \angle IOA\) (đpcm).
\( \Rightarrow \sin \angle IOA = \sin \angle JOM = \dfrac{{JM}}{{OJ}}\) (1)
Tứ giác \(OFMI\) nội tiếp (cmt) nên \(\angle JFM = \angle MIO\) (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong tại đỉnh đối diện).
Xét tam giác \(\Delta JFM\) và \(\Delta JIO\) có:
\(\angle J\) chung
\(\angle JFM = \angle MIO = \angle JIO\) (cmt)
\( \Rightarrow \Delta JFM \sim \Delta JIO\,\,\,\left( {g.g} \right)\)
\( \Rightarrow \dfrac{{JM}}{{OJ}} = \dfrac{{MF}}{{IO}}\) (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra \(\sin \angle IOA = \dfrac{{MF}}{{IO}}\) (đpcm).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
