Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn tâm OO bán kính RR và điểm AA nằm ngoài đường tròn sao cho OA>2ROA>2R.
Cho đường tròn tâm OO bán kính RR và điểm AA nằm ngoài đường tròn sao cho OA>2ROA>2R. Từ AA kẻ hai tiếp tuyến AD,AEAD,AE đến đường tròn (O)(O) (D,ED,E là hai tiếp điểm).
Lấy điểm MM nằm trên cung nhỏ DEDE sao cho MD>MEMD>ME. Tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại MM cắt ADAD, AEAE lần lượt tại I,JI,J. Đường thẳng DEDE cắt OJOJ tại FF.
a) Chứng minh OJOJ là đường trung trực của đoạn thẳng MEME và ∠OMF=∠OEF∠OMF=∠OEF.
b) Chứng minh tứ giác ODIMODIM nội tiếp và 5 điểm I,D,O,F,MI,D,O,F,M cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh ∠JOM=∠IOA∠JOM=∠IOA và sin∠IOA=MFIOsin∠IOA=MFIO.
Quảng cáo
a) Chứng minh OJOJ là đường trung trực của đoạn thẳng MEME và ∠OMF=∠OEF∠OMF=∠OEF.
Ta có: AE,IJAE,IJ là các tiếp tuyến của đường tròn (O)(O) tại E,ME,M.
Mà AE∩JI={J}AE∩JI={J} nên JE=JMJE=JM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
Lại có OE=OM(=R)OE=OM(=R) nên OJOJ là đường trung trực của đoạn MEME (đpcm)
Xét ΔOEFΔOEF và ΔOMFΔOMF có:
OFchungOFchung;
∠EOF=∠MOF∠EOF=∠MOF (tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau).
OE=OM(=R)⇒ΔOEF=ΔOMF(c−g−c)
⇒∠OMF=∠OEF (góc tương ứng) (đpcm).
b) Chứng minh tứ giác ODIM nội tiếp và 5 điểm I,D,O,F,M cùng nằm trên một đường tròn.
Vì AD là tiếp tuyến với (O) tại D nên AD⊥OD⇒∠ODA=900 ⇒∠ODI=900.
MI là tiếp tuyến với (O) tại M nên OM⊥MI⇒∠OMI=900
Tứ giác ODIM có: ∠ODI+∠OMI=900+900=1800 nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
Vậy tứ giác ODIM là tứ giác nội tiếp.
Theo câu a, ∠EOF=∠MOF⇒∠EOM=2∠MOF
⇒∠MOF=12∠EOM=12sdcungME (góc ở tâm bằng số đo cung bị chắn).
Mà ∠MDF=∠MDE=12sdcungME (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
Nên ∠MOF=∠MDF(=12sdcungME)
Xét tứ giác OFMD có ∠MOF=∠MDF(cmt) nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có hai đỉnh kề cùng nhìn cạnh đối diện các góc bằng nhau).
Do đó các điểm O, F, M, D cùng thuộc một đường tròn.
Mà tức giác ODIM nội tiếp (cmt) nên các điểm O, D, I, M cùng thuộc một đường tròn.
Vậy 5 điểm O, D, I, M, F cùng thuộc một đường tròn.
c) Chứng minh ∠JOM=∠IOA và sin∠IOA=MFIO.
Xét ΔMOI và ΔDOI có:
OM=OD(=R)OIchung
IM=ID (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
⇒ΔMOI=ΔDOI(c−c−c)
⇒∠MIO=∠DIO (hai góc tương ứng).
Tứ giác OFMI nội tiếp (cmt) nên ∠OFM+∠MIO=1800 (tính chất tứ giác nội tiếp).
Mà ∠MIO=∠DIO(cmt) nên ∠OFM+∠DIO=1800.
Lại có ∠OIA+∠DIO=1800 . Do đó ∠OFM=∠OIA.
Xét tứ giác OEAD có ∠OEA+∠ODA=900+900=1800 nên là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 1800).
⇒∠OED=∠OAD (hai góc nội tiếp cùng chắn cung OD).
Mà ∠OED=∠OEF=∠OMF (theo câu b)
Nên ∠OMF=∠OAD=∠OAI.
Xét ΔOFM và ΔOIA có:
∠OFM=∠OIA(cmt)∠OMF=∠OAI(cmt)⇒ΔOFM∼ΔOIA(g.g)
⇒∠FOM=∠IOA (hai góc tương ứng).
⇒∠JOM=∠IOA (đpcm).
⇒sin∠IOA=sin∠JOM=JMOJ (1)
Tứ giác OFMI nội tiếp (cmt) nên ∠JFM=∠MIO (góc ngoài tại một đỉnh và góc trong tại đỉnh đối diện).
Xét tam giác ΔJFM và ΔJIO có:
∠J chung
∠JFM=∠MIO=∠JIO (cmt)
⇒ΔJFM∼ΔJIO(g.g)
⇒JMOJ=MFIO (hai cạnh tương ứng) (2)
Từ (1) và (2) suy ra sin∠IOA=MFIO (đpcm).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
