Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa: \(x,\,\,y > 0\) và \(x + y \ge \dfrac{7}{2}\). Tìm giá trị nhỏ

Câu hỏi số 421562:

Vận dụng cao

Cho \(x,\,\,y\) là các số thực thỏa: \(x,\,\,y > 0\) và \(x + y \ge \dfrac{7}{2}\).

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = \dfrac{{13x}}{3} + \dfrac{{10y}}{3} + \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{9}{y}\).

A. \(\dfrac{97}{6}\)

B. \(\dfrac{95}{6}\)

C. \(\dfrac{91}{6}\)

D. \(\dfrac{89}{6}\)

Đáp án đúng là: A

Xem lời giải

Câu hỏi:421562

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}P = \dfrac{{13x}}{3} + \dfrac{{10y}}{3} + \dfrac{1}{{2x}} + \dfrac{9}{y}\\P = \left( {2x + \dfrac{1}{{2x}}} \right) + \left( {y + \dfrac{9}{y}} \right) + \dfrac{7}{3}\left( {x + y} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

\(\left\{ \begin{array}{l}2x + \dfrac{1}{{2x}} \ge 2\sqrt {2x.\dfrac{1}{{2x}}} = 2\\y + \dfrac{9}{y} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{9}{y}} = 6\\x + y \ge \dfrac{7}{2}\,\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right.\)

\( \Rightarrow P \ge 2 + 6 + \dfrac{7}{3}.\dfrac{7}{2} = \dfrac{{97}}{6}\).

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = \dfrac{1}{{2x}}\\y = \dfrac{9}{y}\\x + y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}4{x^2} = 1\\{y^2} = 9\\x + y = \dfrac{7}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \dfrac{1}{2}\\y = 3\end{array} \right.\).

Vậy \({P_{\min }} = \dfrac{{97}}{6} \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{2},\,\,y = 3\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.