Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm ngoài đường tròn. Qua I kẻ hai
Cho đường tròn (O) và một điểm I nằm ngoài đường tròn. Qua I kẻ hai tiếp tuyến IM và IN với đường tròn (O). Gọi K là điểm đối xứng với M qua O. Đường thẳng IK cắt đường tròn (O) tại H.
a) Chứng minh tứ giác IMON nội tiếp đường tròn.
b) Chứng minh IM.IN=IH.IK.
c) Kẻ NP⊥MK. Chứng minh đường thẳng IK đi qua trung điểm của NP.
Quảng cáo
a) Chứng minh tứ giác IMON nội tiếp đường tròn.
Ta có: IM,IN là các tiếp tuyến của (O) tại M,N ⇒∠IMO=∠INO=900 (định nghĩa).
Xét tứ giác IMON ta có: ∠IMO+∠INO=900+900=1800
Mà hai góc này là hai góc đối diện ⇒IMON là tứ giác nội tiếp đường tròn (dhnb).
b) Chứng minh IM.IN=IH.IK.
Ta có: K là điểm đối xứng của M qua O ⇒O là trung điểm của MK và MK là đường kính của (O).
Ta có: ∠MHK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O).
⇒∠MHK=900 hay MH⊥HK.
Áp dụng hệ thức lượng cho ΔIMK vuông tại M có đường cao MH ta có: IM2=IH.IK.
Mà IM=IN (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).
⇒IM2=IN.IM=IH.IK (đpcm).
c) Kẻ NP⊥MK. Chứng minh đường thẳng IK đi qua trung điểm của NP.
Gọi IK∩NP={J}, IK∩MN={E}.
Ta có: IM=IN(cmt) nên tam giác IMN cân tại I (tính chất tam giác cân).
⇒∠INM=∠IMN (2 góc ở đáy tam giác cân).
Lại có ∠MNP=∠IMN (so le trong do NP∥MI - cùng vuông góc với MK).
⇒∠INM=∠MNP (=∠IMN).
⇒NE là phân giác trong ∠INJ.
Lại có ∠MNK là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O) nên ∠MNK=900, do đó NK⊥NE nên NK là phân giác ngoài của ∠INJ.
Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: NINJ=EIEJ=KIKJ.
Áp dụng định lí Ta-let do NP∥MI ta có: EIEJ=MINJ, KIKJ=MIJP.
Từ đó suy ra MINJ=MIJP⇒NJ=JP ⇒J là trung điểm của NP.
Vậy đường thẳng IK đi qua trung điểm của NP (đpcm).
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
