Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(I\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(I\) kẻ hai

Câu hỏi số 421561:

Vận dụng

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) và một điểm \(I\) nằm ngoài đường tròn. Qua \(I\) kẻ hai tiếp tuyến \(IM\) và \(IN\) với đường tròn \(\left( O \right).\) Gọi \(K\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(O.\) Đường thẳng \(IK\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(H.\)

a) Chứng minh tứ giác \(IMON\) nội tiếp đường tròn.

b) Chứng minh \(IM.IN = IH.IK.\)

c) Kẻ \(NP \bot MK.\) Chứng minh đường thẳng \(IK\) đi qua trung điểm của \(NP.\)

Xem lời giải

Câu hỏi:421561

Giải chi tiết

a) Chứng minh tứ giác \(IMON\) nội tiếp đường tròn.

Ta có: \(IM,\,\,IN\) là các tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(M,\,\,N\) \( \Rightarrow \angle IMO = \angle INO = {90^0}\) (định nghĩa).

Xét tứ giác \(IMON\) ta có: \(\angle IMO + \angle INO = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

Mà hai góc này là hai góc đối diện \( \Rightarrow IMON\) là tứ giác nội tiếp đường tròn (dhnb).

b) Chứng minh \(IM.IN = IH.IK.\)

Ta có: \(K\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(O\) \( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(MK\) và \(MK\) là đường kính của \(\left( O \right).\)

Ta có: \(\angle MHK\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right).\)

\( \Rightarrow \angle MHK = {90^0}\) hay \(MH \bot HK.\)

Áp dụng hệ thức lượng cho \(\Delta IMK\) vuông tại \(M\) có đường cao \(MH\) ta có: \(I{M^2} = IH.IK\).

Mà \(IM = IN\) (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau).

\( \Rightarrow I{M^2} = IN.IM = IH.IK\) (đpcm).

c) Kẻ \(NP \bot MK.\) Chứng minh đường thẳng \(IK\) đi qua trung điểm của \(NP.\)

Gọi \(IK \cap NP = \left\{ J \right\}\), \(IK \cap MN = \left\{ E \right\}\).

Ta có: \(IM = IN\,\,\,\left( {cmt} \right)\) nên tam giác \(IMN\) cân tại \(I\) (tính chất tam giác cân).

\( \Rightarrow \angle INM = \angle IMN\) (2 góc ở đáy tam giác cân).

Lại có \(\angle MNP = \angle IMN\) (so le trong do \(NP\parallel MI\) - cùng vuông góc với \(MK\)).

\( \Rightarrow \angle INM = \angle MNP\) \(\left( { = \angle IMN} \right)\).

\( \Rightarrow NE\) là phân giác trong \(\angle INJ\).

Lại có \(\angle MNK\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\left( O \right)\) nên \(\angle MNK = {90^0}\), do đó \(NK \bot NE\) nên \(NK\) là phân giác ngoài của \(\angle INJ\).

Áp dụng tính chất đường phân giác ta có: \(\dfrac{{NI}}{{NJ}} = \dfrac{{EI}}{{EJ}} = \dfrac{{KI}}{{KJ}}\).

Áp dụng định lí Ta-let do \(NP\parallel MI\) ta có: \(\dfrac{{EI}}{{EJ}} = \dfrac{{MI}}{{NJ}}\), \(\dfrac{{KI}}{{KJ}} = \dfrac{{MI}}{{JP}}\).

Từ đó suy ra \(\dfrac{{MI}}{{NJ}} = \dfrac{{MI}}{{JP}} \Rightarrow NJ = JP\) \( \Rightarrow J\) là trung điểm của \(NP\).

Vậy đường thẳng \(IK\) đi qua trung điểm của \(NP\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.