Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\,\,\,\left( {\angle BAC \ne {{90}^0}} \right),\) các đường cao \(AD\) và \(BE\)

Câu hỏi số 422614:

Vận dụng

Cho \(\Delta ABC\) cân tại \(A\,\,\,\left( {\angle BAC \ne {{90}^0}} \right),\) các đường cao \(AD\) và \(BE\) cắt nhau tại \(H.\) Gọi \(O\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AHE.\)

a) Chứng minh bốn điểm \(C,\,\,D,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(BC = 2DE.\)

c) Chứng minh \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

Xem lời giải

Câu hỏi:422614

Giải chi tiết

a) Chứng minh bốn điểm \(C,\,\,D,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc một đường tròn.

Ta có: \(AD,\,\,BE\) là các đường cao của \(\Delta ABC\) (gt).

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}BE \bot AC\\AD \bot BC\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}\angle BEC = {90^0}\\\angle ADC = {90^0}\end{array} \right.\) hay \(\left\{ \begin{array}{l}\angle HEC = {90^0}\\\angle HDC = {90^0}\end{array} \right.\)

Xét tứ giác \(DCEH\) ta có: \(\angle HEC + \angle HDC = {90^0} + {90^0} = {180^0}\).

Mà hai góc này là hai góc đối diện.

\( \Rightarrow DCEH\) là tứ giác nội tiếp (dhnb) hay bốn điểm \(C,\,\,D,\,\,H,\,\,E\) cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh \(BC = 2DE.\)

Ta có: \(AD\) là đường cao của \(\Delta ABC\) cân tại \(A\) \( \Rightarrow AD\) cũng là đường trung tuyến của \(\Delta ABC\) (tính chất tam giác cân).

\( \Rightarrow \) \(D\) là trung điểm của \(BC\).

Xét \(\Delta BEC\) vuông tại \(E\) có đường trung tuyến \(ED\) \( \Rightarrow ED = \dfrac{1}{2}BC \Leftrightarrow BC = 2ED\,\,\,\left( {dpcm} \right).\)

c) Chứng minh \(DE\) là tiếp tuyến của đường tròn \(\left( O \right).\)

Ta có: \(\Delta AHE\) vuông tại \(E\,\,\left( {gt} \right)\) \( \Rightarrow \) Tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta AHE\) là trung điểm của cạnh huyền \(AH.\)

\( \Rightarrow O\) là trung điểm của \(AH.\)

\( \Rightarrow OE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyển của \(\Delta AEH\) vuông tại \(E.\)

\( \Rightarrow OE = OH = \dfrac{1}{2}AH\).

\( \Rightarrow \Delta OEH\) cân tại \(O\) \( \Rightarrow \angle OEH = \angle OHE\) (tính chất tam giác cân)

Ta có: \(\Delta BED\) cân tại \(D\,\,\,\left( {DE = BD = \dfrac{1}{2}BC} \right)\) \( \Rightarrow \angle DEB = \angle EBD\) (tính chât tam giác cân).

Ta có:\(\Delta BHD\) vuông tại \(D\) \( \Rightarrow \angle HBD + \angle BHD = {90^0}\)

Mà: \(\angle OHE = \angle BHD\) (hai góc đối đỉnh)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle BDH + \angle OHE = {90^0}\\ \Rightarrow \angle BED + \angle OHE = {90^0}\\ \Rightarrow \angle BED + \angle OEH = {90^0}\\ \Rightarrow \angle OED = {90^0}\end{array}\)

\( \Rightarrow BE \bot OE\).

\( \Rightarrow DE\) là tiếp tuyến của \(\left( O \right)\) tại \(E\) (đpcm).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.