Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của

Câu hỏi số 422624:

Vận dụng cao

Cho ba số thực dương \(x,y,z\) thỏa mãn điều kiện \(x + y + z = xyz\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q = \dfrac{{y + 2}}{{{x^2}}} + \dfrac{{z + 2}}{{{y^2}}} + \dfrac{{x + 2}}{{{z^2}}}\)

A. \(\sqrt 3 + 1\)

B. \(\sqrt 3 \)

C. \(2\sqrt 3 \)

D. \(\sqrt 3 +2\)

Đáp án đúng là: D

Xem lời giải

Câu hỏi:422624

Giải chi tiết

Ta có: \(x + y + z = xyz \Rightarrow \dfrac{1}{{xy}} + \dfrac{1}{{yz}} + \dfrac{1}{{zx}} = 1\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{1}{x}\\b = \dfrac{1}{y}\\c = \dfrac{1}{z}\end{array} \right.\left( {a,b,c > 0} \right)\) \( \Rightarrow ab + bc + ca = 1\).

Khi đó

\(\begin{array}{l}Q = {a^2}\left( {\dfrac{1}{b} + 2} \right) + {b^2}\left( {\dfrac{1}{c} + 2} \right) + {c^2}\left( {\dfrac{1}{a} + 2} \right)\\\,\,\,\, = \left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\end{array}\)

Áp dụng BĐT \(\dfrac{{{x^2}}}{a} + \dfrac{{{y^2}}}{b} \ge \dfrac{{{{\left( {x + y} \right)}^2}}}{{a + b}}\) ta có:

\(\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b} \right)}^2}}}{{b + c}} + \dfrac{{{c^2}}}{a} \ge \dfrac{{{{\left( {a + b + c} \right)}^2}}}{{a + b + c}} = a + b + c\)

Lại có:

\(\begin{array}{l}{a^2} + {b^2} \ge 2ab\\{b^2} + {c^2} \ge 2bc\\{c^2} + {a^2} \ge 2ca\\ \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right) \ge 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} \ge ab + bc + ca\end{array}\)

\(\begin{array}{l}{\left( {a + b + c} \right)^2} = {a^2} + {b^2} + {c^2} + 2ab + 2bc + 2ca\\ \ge ab + bc + ca + 2ab + 2bc + 2ca\\ = 3\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \Rightarrow a + b + c \ge \sqrt {3\left( {ab + bc + ca} \right)} = \sqrt 3 \end{array}\)

Do đó

\(\begin{array}{l}\left( {\dfrac{{{a^2}}}{b} + \dfrac{{{b^2}}}{c} + \dfrac{{{c^2}}}{a}} \right) + 2\left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\\ \ge a + b + c + 2\left( {ab + bc + ca} \right)\\ \ge \sqrt 3 + 2\end{array}\)

Vậy \({Q_{\min }} = \sqrt 3 + 2\).

Dấu “=” xảy ra khi \(a = b = c = \dfrac{1}{{\sqrt 3 }} \Rightarrow x = y = z = \sqrt 3 \).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.