Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho tam giác nhọn ABCABC nội tiếp đường tròn (O)(O). Các đường cao BD,CEBD,CE (DD
Cho tam giác nhọn ABCABC nội tiếp đường tròn (O)(O). Các đường cao BD,CEBD,CE (DD thuộc ACAC, EE thuộc ABAB) của tam giác kéo dài lần lượt cắt đường tròn (O)(O) tại các điểm MM và NN (MM khác BB, NN khác CC).
1. Chứng minh tứ giác BCDEBCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
2. Chứng minh MNMN song song với DEDE.
3. Khi đường tròn (O)(O) và dây BCBC cố định, điểm AA di động trên cung lớn BCBC sao cho tam giác ABCABC nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEADE không đổi và tìm vị trí của điểm AA để diện tích tam giác ADEADE đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
1. Chứng minh tứ giác BCDEBCDE nội tiếp được trong một đường tròn.
Vì BD,CEBD,CE là các đường cao của ΔABCΔABC nên BD⊥AC,CE⊥ABBD⊥AC,CE⊥AB.
⇒∠BDC=∠BEC=900⇒∠BDC=∠BEC=900.
Suy ra tứ giác BCDEBCDE là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có 2 đỉnh kề cùng nhìn một cạnh dưới các góc bằng nhau).
2. Chứng minh MNMN song song với DEDE.
Vì BCDEBCDE là tứ giác nội tiếp (cmt) nên ∠BDE=∠BCE∠BDE=∠BCE (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BEBE).
Mà ∠BCE=∠BCN=∠BMN∠BCE=∠BCN=∠BMN (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BNBN của (O)(O)).
⇒∠BDE=∠BMN⇒∠BDE=∠BMN. Mà 2 góc này ở vị trí hai góc đồng vị bằng nhau.
Vậy MN∥DE(dhnb)(dpcm)MN∥DE(dhnb)(dpcm).
3. Khi đường tròn (O)(O) và dây BCBC cố định, điểm AA di động trên cung lớn BCBC sao cho tam giác ABCABC nhọn, chứng minh bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEADE không đổi và tìm vị trí của điểm AA để diện tích tam giác ADEADE đạt giá trị lớn nhất.
Gọi BD∩CE={H}BD∩CE={H}.
Xét tứ giác AEHDAEHD có ∠AEH+∠ADH=900+900=1800∠AEH+∠ADH=900+900=1800.
⇒AEHD⇒AEHD là tứ giác nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bằng 18001800).
Lại có ∠AEH=900∠AEH=900 nên là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn, do đó tứ giác AEHDAEHD nội tiếp đường tròn đường kính AHAH, tâm II là trung điểm của AHAH.
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ADEADE là đường tròn (I;AH2)(I;AH2).
Kẻ đường kính AFAF và gọi KK là trung điểm của BCBC.
Vì ∠ABF,∠ACF∠ABF,∠ACF là các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn (O)(O) nên ∠ABF=∠ACF=900∠ABF=∠ACF=900.
Ta có: {CF⊥ACBH⊥AC(gt)⇒CF∥BH (từ vuông góc đến song song).
{BF⊥ABCH⊥AB(gt)⇒CH∥BF (từ vuông góc đến song song).
⇒ Tứ giác BHCF là hình bình hành (dhnb).
⇒ Hai đường chéo BC,HF cắt nhau tại trung điểm mỗi đường (tính chất hình bình hành).
Mà K là trung điểm của BC (theo cách vẽ) nên K cũng là trung điểm của HF.
Khi đó OK là đường trung bình của tam giác AHF nên OK=12AH (tính chất đường trung bình).
Suy ra đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE là đường tròn (I;OK).
Mà (O) và BC cố định, do đó O,K cố định nên OK không đổi.
Vậy bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ADE bằng OK không đổi.
Ta có: ∠BAC=12sdcungBC (góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn).
Mà BC cố định nên sdcungBC không đổi. Do đó ∠BAC không đổi.
Xét ΔAED và ΔACB có:
∠BAC chung;
∠AED=∠ACB (góc ngoài và góc trong tại đỉnh đối diện của tứ giác nội tiếp BCDE).
⇒ΔAED∼ΔACB(g.g) theo tỉ số k=ADAB.
Do đó ta có: SΔAEDSΔACB=k2=(ADAB)2.
Xét tam giác vuông ABD có: ADAB=cos∠BAC.
⇒SΔAEDSΔABC=cos2∠BAC ⇒SΔAED=cos2∠BAC.SΔABC, mà cos∠BAC không đổi nên để SΔAED đạt giá trị lớn nhất thì SΔABC phải lớn nhất.
Kéo dài AH cắt BC tại P ⇒AP⊥BC và SΔABC=12AP.BC.
Do BC không đổi (theo giả thiết) nên SΔABC đạt giá tị lớn nhất khi và chỉ khi AP lớn nhất.
Khi đó A phải là điểm chính giữa của cung lớn BC.
Vậy SAED đạt giá trị lớn nhất khi A là điểm chính giữa của cung lớn BC.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
