Có bao nhiêu cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({10^{\frac{{10}}{{x + y}}}} = \left( {x + y + \frac{1}{x} +

Câu hỏi số 490216:

Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn \({10^{\frac{{10}}{{x + y}}}} = \left( {x + y + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right){.10^{\frac{1}{{xy}}}}\) và \(x \in \mathbb{N}*\), \(y > 0\).

A. \(14\)

B. \(7\)

C. \(21\)

D. \(10\)

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490216

Giải chi tiết

Lấy logarit hai vế của phương trình đã cho ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{10^{\frac{{10}}{{x + y}}}} = \left( {x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right){.10^{\frac{1}{{xy}}}}\\ \Leftrightarrow \log \left( {{{10}^{\frac{{10}}{{x + y}}}}} \right) = \log \left[ {\left( {x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right){{.10}^{\frac{1}{{xy}}}}} \right]\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} = \log \left( {x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right) + \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} = \log \left( {x + y + \dfrac{{x + y}}{{xy}}} \right) + \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} = \log \left( {\left( {x + y} \right)\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right)} \right) + \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} = \log \left( {x + y} \right) + \log \left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) + \dfrac{1}{{xy}}\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} - \log \left( {x + y} \right) = \dfrac{1}{{xy}} + \log \left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} + 1 - \log \left( {x + y} \right) = 1 + \dfrac{1}{{xy}} + \log \left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} + \log \dfrac{{10}}{{x + y}} = 1 + \dfrac{1}{{xy}} + \log \left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t + \log t\,\,\left( {t > 0} \right)\) ta có \(f'\left( t \right) = 1 + \dfrac{1}{{t\ln 10}} > 0\,\,\forall t > 0\) nên hàm số đồng biến trên \(\left( {0; + \infty } \right)\).

Lại có \(f\left( {\dfrac{{10}}{{x + y}}} \right) = f\left( {1 + \dfrac{1}{{xy}}} \right) \Leftrightarrow \dfrac{{10}}{{x + y}} = 1 + \dfrac{1}{{xy}}\).

Thế vào phương trình ban đầu ta có:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,{10^{1 + \frac{1}{{xy}}}} = \left( {x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right){.10^{\frac{1}{{xy}}}}\\ \Leftrightarrow {10.10^{\frac{1}{{xy}}}} = \left( {x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}} \right){.10^{\frac{1}{{xy}}}}\\ \Leftrightarrow 10 = x + y + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\end{array}\)

Vì \(\left\{ \begin{array}{l}x \in \mathbb{N}*\\y > 0\end{array} \right.\) nên áp dụng BĐT Cô-si ta có \(\left\{ \begin{array}{l}x + \dfrac{1}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{1}{x}} = 2\\y + \dfrac{1}{y} \ge 2\sqrt {y.\dfrac{1}{y}} = 2\end{array} \right.\).

\( \Rightarrow 10 - \left( {x + \dfrac{1}{x}} \right) \ge 2 \Leftrightarrow 2 \le x + \dfrac{1}{x} \le 8\).

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 2x + 1 \ge 0\\{x^2} - 8x + 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {x - 1} \right)^2} \ge 0\,\,\left( {luon\,dung} \right)\\4 - \sqrt {15} \le x \le 4 + \sqrt {15} \end{array} \right.\)

Mà \(x \in {\mathbb{N}^*} \Rightarrow x \in \left\{ {1;2;3;4;5;6;7} \right\}\).

Giả sử \(x + \dfrac{1}{x} = k \Rightarrow k \in \left\{ {2;\dfrac{5}{2};\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{17}}{4};\dfrac{{26}}{5};\dfrac{{37}}{6};\dfrac{{50}}{7}} \right\}\), khi đó ta có \(y + \dfrac{1}{y} = 10 - k \Leftrightarrow {y^2} + \left( {k - 10} \right)y + 1 = 0\)

Phương trình có nghiệm \( \Leftrightarrow {\left( {k - 10} \right)^2} - 4 = {k^2} - 20k + 96 > 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > 12\\k < 8\end{array} \right.\).

Vậy ứng với mỗi giá trị \(k \in \left\{ {2;\dfrac{5}{2};\dfrac{{10}}{3};\dfrac{{17}}{4};\dfrac{{26}}{5};\dfrac{{37}}{6};\dfrac{{50}}{7}} \right\}\) cho 2 giá trị \(y\) thỏa mãn hay ứng với mỗi giá trị của \(x\) cho 2 giá trị \(y\) tương ứng.

Vậy có tất cả 14 cặp \(\left( {x;y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.