Có bao nhiêu cặp (x;y)(x;y) thỏa mãn \({10^{\frac{{10}}{{x + y}}}} = \left( {x + y + \frac{1}{x} +
Có bao nhiêu cặp (x;y)(x;y) thỏa mãn 1010x+y=(x+y+1x+1y).101xy1010x+y=(x+y+1x+1y).101xy và x∈N∗, y>0.
Đáp án đúng là: A
Quảng cáo
Lấy logarit hai vế của phương trình đã cho ta có:
1010x+y=(x+y+1x+1y).101xy⇔log(1010x+y)=log[(x+y+1x+1y).101xy]⇔10x+y=log(x+y+1x+1y)+1xy⇔10x+y=log(x+y+x+yxy)+1xy⇔10x+y=log((x+y)(1+1xy))+1xy⇔10x+y=log(x+y)+log(1+1xy)+1xy⇔10x+y−log(x+y)=1xy+log(1+1xy)⇔10x+y+1−log(x+y)=1+1xy+log(1+1xy)⇔10x+y+log10x+y=1+1xy+log(1+1xy)
Xét hàm số f(t)=t+logt(t>0) ta có f′(t)=1+1tln10>0∀t>0 nên hàm số đồng biến trên (0;+∞).
Lại có f(10x+y)=f(1+1xy)⇔10x+y=1+1xy.
Thế vào phương trình ban đầu ta có:
101+1xy=(x+y+1x+1y).101xy⇔10.101xy=(x+y+1x+1y).101xy⇔10=x+y+1x+1y
Vì {x∈N∗y>0 nên áp dụng BĐT Cô-si ta có {x+1x≥2√x.1x=2y+1y≥2√y.1y=2.
⇒10−(x+1x)≥2⇔2≤x+1x≤8.
⇔{x2−2x+1≥0x2−8x+1≤0⇔{(x−1)2≥0(luondung)4−√15≤x≤4+√15
Mà x∈N∗⇒x∈{1;2;3;4;5;6;7}.
Giả sử x+1x=k⇒k∈{2;52;103;174;265;376;507}, khi đó ta có y+1y=10−k⇔y2+(k−10)y+1=0
Phương trình có nghiệm ⇔(k−10)2−4=k2−20k+96>0⇔[k>12k<8.
Vậy ứng với mỗi giá trị k∈{2;52;103;174;265;376;507} cho 2 giá trị y thỏa mãn hay ứng với mỗi giá trị của x cho 2 giá trị y tương ứng.
Vậy có tất cả 14 cặp (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hỗ trợ - Hướng dẫn

-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com