Tel: 024.7300.7989 - Phone: 1800.6947 (Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)

Giỏ hàng của tôi

Có bao nhiêu cặp (x;y)(x;y) thỏa mãn \({10^{\frac{{10}}{{x + y}}}} = \left( {x + y + \frac{1}{x} +

Câu hỏi số 490216:
Vận dụng cao

Có bao nhiêu cặp (x;y)(x;y) thỏa mãn 1010x+y=(x+y+1x+1y).101xy1010x+y=(x+y+1x+1y).101xyxN, y>0.

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Câu hỏi:490216
Giải chi tiết

Lấy logarit hai vế của phương trình đã cho ta có:

1010x+y=(x+y+1x+1y).101xylog(1010x+y)=log[(x+y+1x+1y).101xy]10x+y=log(x+y+1x+1y)+1xy10x+y=log(x+y+x+yxy)+1xy10x+y=log((x+y)(1+1xy))+1xy10x+y=log(x+y)+log(1+1xy)+1xy10x+ylog(x+y)=1xy+log(1+1xy)10x+y+1log(x+y)=1+1xy+log(1+1xy)10x+y+log10x+y=1+1xy+log(1+1xy)

Xét hàm số f(t)=t+logt(t>0) ta có f(t)=1+1tln10>0t>0 nên hàm số đồng biến trên (0;+).

Lại có f(10x+y)=f(1+1xy)10x+y=1+1xy.

Thế vào phương trình ban đầu ta có:

101+1xy=(x+y+1x+1y).101xy10.101xy=(x+y+1x+1y).101xy10=x+y+1x+1y

{xNy>0 nên áp dụng BĐT Cô-si ta có {x+1x2x.1x=2y+1y2y.1y=2.

10(x+1x)22x+1x8.

{x22x+10x28x+10{(x1)20(luondung)415x4+15

xNx{1;2;3;4;5;6;7}.

Giả sử x+1x=kk{2;52;103;174;265;376;507}, khi đó ta có y+1y=10ky2+(k10)y+1=0

Phương trình có nghiệm (k10)24=k220k+96>0[k>12k<8.

Vậy ứng với mỗi giá trị k{2;52;103;174;265;376;507} cho 2 giá trị y thỏa mãn hay ứng với mỗi giá trị của x cho 2 giá trị y tương ứng.

Vậy có tất cả 14 cặp (x;y) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.

Hỗ trợ - Hướng dẫn

  • 024.7300.7989
  • 1800.6947 free

(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com


@!-/#Chào mỪng1
@!-/#Chào mỪng1