Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn

Câu hỏi số 490215:

Vận dụng cao

Cho hàm số \(f\left( x \right)\) liên tục và luôn nhận giá trị dương trên \(\mathbb{R}\), thỏa mãn \(f\left( 0 \right) = {e^2}\) và \(2\sin 2x\left[ {f\left( x \right) + {e^{\cos 2x}}\sqrt {f\left( x \right)} } \right] + f'\left( x \right) = 0\), \(\forall x \in \mathbb{R}\). Khi đó \(f\left( {\dfrac{{2\pi }}{3}} \right)\) thuộc khoảng?

A. \(\left( {1;2} \right)\)

B. \(\left( {2;3} \right)\)

C. \(\left( {3;4} \right)\)

D. \(\left( {0;1} \right)\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:490215

Phương pháp giải

Biến đổi và đưa 2 vế về dạng đạo hàm.

Giải chi tiết

Ta có:

\(\begin{array}{l}2\sin 2x\left[ {f\left( x \right) + {e^{\cos 2x}}\sqrt {f\left( x \right)} } \right] + f'\left( x \right) = 0\\ \Leftrightarrow f'\left( x \right) + 2\sin 2x.f\left( x \right) = - 2\sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x - {{\sin }^2}x}}\sqrt {f\left( x \right)} \\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{1}{{\sqrt {f\left( x \right)} }}\left[ {f'\left( x \right) + 2\sin 2x.f\left( x \right)} \right] = - 2\sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{\sqrt {f\left( x \right)} }} + {e^{{{\sin }^2}x}}.2\sin 2x.\sqrt {f\left( x \right)} = - 2\sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\dfrac{{f'\left( x \right)}}{{2\sqrt {f\left( x \right)} }} + {e^{{{\sin }^2}x}}.\sin 2x.\sqrt {f\left( x \right)} = - \sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\left( {\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' + \left( {{e^{{{\sin }^2}x}}} \right)'.\sqrt {f\left( x \right)} = - \sin 2x.{e^{{{\cos }^2}x}}\\ \Leftrightarrow \left( {{e^{{{\sin }^2}x}}.\sqrt {f\left( x \right)} } \right)' = \left( {{e^{{{\cos }^2}x}}} \right)'\\ \Leftrightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\sqrt {f\left( x \right)} = {e^{{{\cos }^2}x}} + C\end{array}\)

Theo bài ra ta có \(f\left( 0 \right) = {e^2} \Rightarrow {e^0}\sqrt {f\left( 0 \right)} = {e^1} + C \Leftrightarrow C = 0\).

\( \Rightarrow {e^{{{\sin }^2}x}}.\sqrt {f\left( x \right)} = {e^{{{\cos }^2}x}} \Rightarrow \sqrt {f\left( x \right)} = {e^{\cos 2x}} \Leftrightarrow f\left( x \right) = {e^{2\cos 2x}}\).

Vậy \(f\left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) = {e^{2\cos \frac{{4\pi }}{3}}} = \dfrac{1}{e} \approx 0,37 \in \left( {0;1} \right)\).

Tham Gia Group Dành Cho 2K7 luyện thi Tn THPT - ĐGNL - ĐGTD

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.