Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 2021;2021} \right]$ để hàm số \(y = {x^3} -

Câu hỏi số 493240:

Vận dụng

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m \in \left[ { - 2021;2021} \right]$ để hàm số $y = {x^3} - 3{x^2} + mx + 24\ln x$ đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ ?

A. 2034

B. 2032

C. 2035

D. 2033

Đáp án đúng là: A

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:493240

Phương pháp giải

Sử dụng công thức tính đạo hàm.

Giải chi tiết

Hàm số đã cho xác định trên $\left( {0; + \infty } \right)$ .

Ta có $y' = 3{x^2} - 6x + m + \dfrac{{24}}{x}$ .

Để hàm số đồng biến trên $\left( {0; + \infty } \right)$ thì $y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow 3{x^2} - 6x + m + \dfrac{{24}}{x} \ge 0\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\\ \Leftrightarrow - m \le 3{x^2} - 6x + \dfrac{{24}}{x}\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right)\end{array}$

Đặt $g\left( x \right) = 3{x^2} - 6x + \dfrac{{24}}{x}\,$ $\Rightarrow - m \le g\left( x \right)\,\,\forall x \in \left( {0; + \infty } \right) \Leftrightarrow - m \le \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right)$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}g'\left( x \right) = 6x - 6 - \dfrac{{24}}{{{x^2}}} = 6.\dfrac{{{x^3} - {x^2} - 4}}{{{x^2}}} = \dfrac{{6\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right)}}{{{x^2}}}\\Cho\,\,g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\end{array}$

Bảng biến thiên:

Dựa vào BBT $\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left[ {0; + \infty } \right)} g\left( x \right) = 12$ , do đó $- m \le 12 \Leftrightarrow m \ge - 12$ .

Kết hợp điều kiện đề bài $\Rightarrow m \in \left[ { - 12;2021} \right],\,\,m \in \mathbb{Z}$ .

Vậy có tất cả $2021 - \left( { - 12} \right) + 1 = 2034$ giá trị của $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM; 70+ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.