Cho hàm số \(y = \dfrac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\)

Câu hỏi số 515116:

Vận dụng

Cho hàm số \(y = \dfrac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) để giá trị nhỏ nhất của \(y\) nhỏ hơn \( - 1\).

A. \(3\).

B. \(5\).

C. \(6\).

D. \(4\).

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515116

Phương pháp giải

Sử dụng \(y = \dfrac{{m\sin \,x + 1}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow m\sin \,x - y\,\cos x = 2y - 1\).

Đây là dạng phương trình lượng giác bậc nhất một ẩn với \(\sin \,x,\,\cos x\):\(a\,\sin \,x + b\,\cos x = c\), điều kiện có nghiệm của phương trình là \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\). Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của \(y\).

Giải chi tiết

Do \(\cos x + 2 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}\) nên hàm số xác định trên \(\mathbb{R}\).

Ta có: \(y = \dfrac{{m\sin \,x + 1}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow m\sin \,x - y\,\cos x = 2y - 1\)

Do phương trình có nghiệm nên \({m^2} + {y^2} \ge {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {m^2} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} \le y \le \dfrac{{2 + \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3}\)

Vậy GTNN của \(y\) bằng \(\dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3}\)

Do đó yêu cầu bài toán \( \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} < - 1 \Leftrightarrow 3{m^2} + 1 > 25 \Leftrightarrow {m^2} > 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 \\m < - 2\sqrt 2 \end{array} \right.\)

Do \(m\) thuộc đoạn \(\left[ { - 5;5} \right]\) nên \(m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;3;4;5} \right\}.\)

Tham Gia Group Dành Cho 2K8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.