Cho hàm số $y = \dfrac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$

Câu hỏi số 515116:

Vận dụng

Cho hàm số $y = \dfrac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}$ . Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 5;5} \right]$ để giá trị nhỏ nhất của $y$ nhỏ hơn $- 1$ .

$3$ .

$5$ .

$6$ .

$4$ .

Đáp án đúng là: C

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:515116

Phương pháp giải

Sử dụng $y = \dfrac{{m\sin \,x + 1}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow m\sin \,x - y\,\cos x = 2y - 1$ .

Đây là dạng phương trình lượng giác bậc nhất một ẩn với $\sin \,x,\,\cos x$ : $a\,\sin \,x + b\,\cos x = c$ , điều kiện có nghiệm của phương trình là ${a^2} + {b^2} \ge {c^2}$ . Từ đó tìm được giá trị nhỏ nhất của $y$ .

Giải chi tiết

Do $\cos x + 2 > 0,\,\forall x \in \mathbb{R}$ nên hàm số xác định trên $\mathbb{R}$ .

Ta có: $y = \dfrac{{m\sin \,x + 1}}{{\cos x + 2}} \Leftrightarrow m\sin \,x - y\,\cos x = 2y - 1$

Do phương trình có nghiệm nên ${m^2} + {y^2} \ge {\left( {2y - 1} \right)^2} \Leftrightarrow 3{y^2} - 4y + 1 - {m^2} \le 0 \Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} \le y \le \dfrac{{2 + \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3}$

Vậy GTNN của $y$ bằng $\dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3}$

Do đó yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow \dfrac{{2 - \sqrt {3{m^2} + 1} }}{3} < - 1 \Leftrightarrow 3{m^2} + 1 > 25 \Leftrightarrow {m^2} > 8 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m > 2\sqrt 2 \\m < - 2\sqrt 2 \end{array} \right.$

Do $m$ thuộc đoạn $\left[ { - 5;5} \right]$ nên $m \in \left\{ { - 5; - 4; - 3;3;4;5} \right\}.$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8! chú ý! Mở đặt chỗ Lộ trình Sun 2026: Luyện thi chuyên sâu TN THPT, Đánh giá năng lực, Đánh giá tư duy tại Tuyensinh247.com (Xem ngay lộ trình). Ưu đãi -70% (chỉ trong tháng 3/2025) - Tặng miễn phí khoá học tổng ôn lớp 11, 2K8 xuất phát sớm, X2 cơ hội đỗ đại học. Học thử miễn phí ngay.