Biết parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 3m$ (với $m$ là tham số thực) cắt trục hoành

Câu hỏi số 537701:

Vận dụng

Biết parabol $\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 3m$ (với $m$ là tham số thực) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Gọi ${S_1},{S_2}$ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi $\left( P \right)$ và hai trục tọa độ (xem hình vẽ bên). Tìm $m$ để ${S_1} = {S_2}$ .

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537701

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục hoành ta có: ${x^2} - 4x + 3m = 0$

Tìm điều kiện để $\left( P \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Sử dụng công thức: ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng để biểu diễn ${S_1},{S_2}$

Cho ${S_1} = {S_2}$ và biến đổi, phân tích để tìm giá trị $m$ (đối chiếu điều kiện ban đầu).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $\left( P \right)$ và trục hoành ta có: ${x^2} - 4x + 3m = 0$ (*)

Để $\left( P \right)$ cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt dương.

Khi đó ta cần các điều kiện: $\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.$

Ta có: $\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.3m = 16 - 12m$

Theo hệ thức Vi-ét ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = 3m\end{array} \right.$

Giải hệ phương trình: $\left\{ \begin{array}{l}16 - 12m > 0\\4 > 0\\3m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 > 12m\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{16}}{{12}}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{4}{3}$ .

Gọi ${x_1},{x_2}$ là hai nghiệm của (*), giả sử $0 < {x_1} < {x_2}$ .

Ta có:

${S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} - 4x + 3m} \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 3mx} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{{x_1^3}}{3} - 2x_1^2 + 3m{x_1}$ ;

$\begin{array}{l}{S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} { - \left( {{x^2} - 4x + 3m} \right)dx} = \int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( {{x^2} - 4x + 3m} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\, = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 3mx} \right|_{{x_2}}^{{x_1}} = \dfrac{{x_1^3}}{3} - 2x_1^2 + 3m{x_1} - \left( {\dfrac{{x_2^3}}{3} - 2x_2^2 + 3m{x_2}} \right)\end{array}$

Để ${S_1} = {S_2}$ thì $\dfrac{1}{3}.x_2^3 - 2x_2^2 + 3m{x_2} = 0$ $\Leftrightarrow {x_2}\left( {\dfrac{1}{3}x_2^2 - 2{x_2} + 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\dfrac{1}{3}x_2^2 - 2{x_2} + 3m = 0 & \left( 1 \right)\end{array} \right.$

Mặt khác ${x_2}$ là nghiệm của (*) nên $x_2^2 - 4{x_2} + 3m = 0$ (2)

Lấy (1) trừ đi (2) ta được: $- \dfrac{2}{3}x_2^2 + 2{x_2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_2} = 3\end{array} \right.$

Với ${x_2} = 3$ thay vào $\left( 2 \right)$ ta tính được ${3^2} - 4.3 + 3m = 0 \Leftrightarrow 9 - 12 + 3m = 0 \Leftrightarrow 3m = 3 \Leftrightarrow m = 1$ (TMĐK)

Vậy $m = 1$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.