Biết parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 3m\) (với \(m\) là tham số thực) cắt trục hoành

Câu hỏi số 537701:

Vận dụng

Biết parabol \(\left( P \right):y = {x^2} - 4x + 3m\) (với \(m\) là tham số thực) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương. Gọi \({S_1},{S_2}\) là diện tích hình phẳng giới hạn bởi \(\left( P \right)\) và hai trục tọa độ (xem hình vẽ bên). Tìm \(m\) để \({S_1} = {S_2}\).

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:537701

Phương pháp giải

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục hoành ta có: \({x^2} - 4x + 3m = 0\)

Tìm điều kiện để \(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương.

Sử dụng công thức: ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng để biểu diễn \({S_1},{S_2}\)

Cho \({S_1} = {S_2}\) và biến đổi, phân tích để tìm giá trị \(m\) (đối chiếu điều kiện ban đầu).

Giải chi tiết

Xét phương trình hoành độ giao điểm của \(\left( P \right)\) và trục hoành ta có: \({x^2} - 4x + 3m = 0\) (*)

Để \(\left( P \right)\) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ dương thì phương trình (*) có hai nghiệm dương phân biệt dương.

Khi đó ta cần các điều kiện: \(\left\{ \begin{array}{l}\Delta > 0\\{x_1} + {x_2} > 0\\{x_1}.{x_2} > 0\end{array} \right.\)

Ta có: \(\Delta = {\left( { - 4} \right)^2} - 4.3m = 16 - 12m\)

Theo hệ thức Vi-ét ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = \dfrac{{ - b}}{a} = 4\\{x_1}.{x_2} = \dfrac{c}{a} = 3m\end{array} \right.\)

Giải hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}16 - 12m > 0\\4 > 0\\3m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}16 > 12m\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < \dfrac{{16}}{{12}}\\m > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow 0 < m < \dfrac{4}{3}\).

Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của (*), giả sử \(0 < {x_1} < {x_2}\).

Ta có:

\({S_1} = \int\limits_0^{{x_1}} {\left( {{x^2} - 4x + 3m} \right)dx} = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 3mx} \right|_0^{{x_1}} = \dfrac{{x_1^3}}{3} - 2x_1^2 + 3m{x_1}\);

\(\begin{array}{l}{S_2} = \int\limits_{{x_1}}^{{x_2}} { - \left( {{x^2} - 4x + 3m} \right)dx} = \int\limits_{{x_2}}^{{x_1}} {\left( {{x^2} - 4x + 3m} \right)dx} \\\,\,\,\,\,\, = \left. {\dfrac{{{x^3}}}{3} - \dfrac{{4{x^2}}}{2} + 3mx} \right|_{{x_2}}^{{x_1}} = \dfrac{{x_1^3}}{3} - 2x_1^2 + 3m{x_1} - \left( {\dfrac{{x_2^3}}{3} - 2x_2^2 + 3m{x_2}} \right)\end{array}\)

Để \({S_1} = {S_2}\) thì \(\dfrac{1}{3}.x_2^3 - 2x_2^2 + 3m{x_2} = 0\)\( \Leftrightarrow {x_2}\left( {\dfrac{1}{3}x_2^2 - 2{x_2} + 3m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\,\,\,\left( {ktm} \right)\\\dfrac{1}{3}x_2^2 - 2{x_2} + 3m = 0 & \left( 1 \right)\end{array} \right.\)

Mặt khác \({x_2}\) là nghiệm của (*) nên \(x_2^2 - 4{x_2} + 3m = 0\)\(\) (2)

Lấy (1) trừ đi (2) ta được: \( - \dfrac{2}{3}x_2^2 + 2{x_2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x_2} = 0\,\,\,\,\,\left( {ktm} \right)\\{x_2} = 3\end{array} \right.\)

Với \({x_2} = 3\) thay vào \(\left( 2 \right)\) ta tính được \({3^2} - 4.3 + 3m = 0 \Leftrightarrow 9 - 12 + 3m = 0 \Leftrightarrow 3m = 3 \Leftrightarrow m = 1\) (TMĐK)

Vậy \(m = 1\).

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K9 Chú ý! Lộ Trình Sun 2027 - 1 lộ trình ôn đa kỳ thi (TN THPT, ĐGNL (Hà Nội/ Hồ Chí Minh), ĐGNL Sư Phạm, ĐGTD, ĐGNL Bộ Công an, ĐGNL Bộ Quốc phòngTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Cập nhật bám sát bộ SGK mới, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.