Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E

Cho tam giác nhọn ABC có BC = 8 cm. Đường tròn tâm O đường kính BC cắt AB, AC lần lượt tại E và D. Hai đường thẳng BD và CE cắt nhau tại H.

Trả lời cho các câu 540222, 540223, 540224 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Chứng minh: AH vuông góc với BC.

Xem lời giải

Câu hỏi:540223

Giải chi tiết

Ta có các góc $BDC = {90^0};\,BEC\, = {90^0}$ (Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

$\begin{array}{l} \Rightarrow BD \bot DC \Rightarrow BD \bot AC\\\,\,\,\,\,\,\,CE \bot BE \Rightarrow CE \bot AB\end{array}$

Xét tam giác ABC có $\left\{ \begin{array}{l}BD \bot AC\\CE \bot AC\\BD \cap CE = H\,\,\left( {gt} \right)\end{array} \right. \Rightarrow$ H là trực tâm tam giác ABC

$\Rightarrow AH \bot BC$ .

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Gọi K là trung điểm của AH. Chứng minh tứ giác OEKD nội tiếp.

Xem lời giải

Câu hỏi:540224

Giải chi tiết

Kéo dài AH cắt BC tại F.

Xét tứ giác AEHD có $\angle AEH + \angle ADH = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow$ Tứ giác AEDH nội tiếp đường tròn đường kính AH.

Lại có K là trung điểm của AH $\Rightarrow K$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác AEHD.

$\Rightarrow KA = KE = KH = KD$

$\Rightarrow \Delta KDH$ cân tại K $\Rightarrow \angle KDH = \angle KHD = \angle BHF$ (1)

Xét tam giác OBD có $OB = OD\,\left( { = R} \right) \Rightarrow \Delta OBD$ cân tại O $\Rightarrow \angle ODB = \angle OBD$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow \angle KDH + \angle ODB = \angle BHF + \angle OBD = {90^0} \Rightarrow \angle KDO = {90^0}$

Chứng minh tương tự ta có:

$\Delta KEH$ cân tại K $\Rightarrow \angle KEH = \angle KHE = \angle CHF$

Tam giác OCE có OC = OE $\Rightarrow \Delta OCE$ cân tại $O \Rightarrow \angle OEC = \angle OCE$

$\Rightarrow \angle KEH + \angle OEC = \angle CHF + \angle OCE = {90^0} \Rightarrow \angle KEO = {90^0}$

Xét tứ giác OEKD có $\angle KDO + \angle KEO = {90^0} + {90^0} = {180^0} \Rightarrow$ Tứ giác OEKD là tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180⁰)

Câu hỏi số 3:

Vận dụng cao

Cho

$\widehat {BAC} = {60^0}$ . Tính độ dài đoạn DE và tỉ số diện tích của hai tam giác AED và ABC.

Xem lời giải

Câu hỏi:540225

Giải chi tiết

Tứ giác BEDC nội tiếp đường tròn (O)

$\Rightarrow \angle ABC + \angle EDC = {180^0}$

Mà $\angle EDC + \angle ADE = {180^0}$ (kề bù)

$\Rightarrow \angle ABC = \angle ADE$

+) Xét $\Delta ADE$ và $\Delta ABC$ có:

$\angle A$ : chung

$\angle ABC = \angle ADE$ (cmt)

$\Rightarrow \Delta ADE$ đồng dạng $\Delta ABC$ (g-g)

$\Rightarrow \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{{AD}}{{AB}}$ (1)

+) $\Delta ADB$ vuông tại D

$\Rightarrow \dfrac{{AD}}{{AB}} = {\mathop{\rm cosBAD}\nolimits} = \cos {60^0} = \dfrac{1}{2}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra : $\dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{1}{2} \Rightarrow DE = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}.8 = 4\,\,(cm)$

Vậy $DE = 4\,\,cm$ .

+) $\Delta ADE$ đồng dạng $\Delta ABC$ với tỉ số đồng dạng $k = \dfrac{{DE}}{{BC}} = \dfrac{1}{2}$

Khi đó: $\dfrac{{{S_{\Delta ADE}}}}{{{S_{\Delta ABC}}}} = {k^2} = {\left( { \dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4}$ .

Quảng cáo

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com

>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY

Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.