Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} -

Cho hai biểu thức \(A = \dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}\) và \(B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{x - 1}}\) với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\).

Trả lời cho các câu 1, 2, 3 dưới đây:

Câu hỏi số 1:

Vận dụng

Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 4\).

Xem lời giải

Câu hỏi:540435

Giải chi tiết

Thay \(x = 4\) (TMĐK) vào biểu thức \(A\) ta có: \(A = \dfrac{{\sqrt 4 + 1}}{{\sqrt 4 + 2}} = \dfrac{{2 + 1}}{{2 + 2}} = \dfrac{3}{4}\).

Vậy khi \(x = 4\) thì \(A = \dfrac{3}{4}\).

Câu hỏi số 2:

Vận dụng

Rút gọn B.

Xem lời giải

Câu hỏi:540436

Giải chi tiết

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{x - 1}}\\B = \dfrac{3}{{\sqrt x - 1}} - \dfrac{{\sqrt x + 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{3\left( {\sqrt x + 1} \right) - \left( {\sqrt x + 5} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{3\sqrt x + 3 - \sqrt x - 5}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{{2\left( {\sqrt x - 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {\sqrt x + 1} \right)}}\\B = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\,\,\,\left( {dpcm} \right)\end{array}\)

Vậy với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) thì \(B = \dfrac{2}{{\sqrt x + 1}}\).

Câu hỏi số 3:

Vận dụng

Tìm tất cả các giá trị của \(x\) để biểu thức \(P = 2A.B + \sqrt x \) đạt giá trị nhỏ nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi:540437

Giải chi tiết

Với \(x \ge 0,\,\,x \ne 1\) ta có:

\(\begin{array}{l}P = 2A.B + \sqrt x \\P = 2.\dfrac{{\sqrt x + 1}}{{\sqrt x + 2}}.\dfrac{2}{{\sqrt x + 1}} + \sqrt x \\P = \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} + \sqrt x \\P = \sqrt x + 2 + \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} - 2\end{array}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho hai số dương \(\sqrt x + 2\) và \(\dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}\) ta có:

\(\sqrt x + 2 + \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} \ge 2\sqrt {\left( {\sqrt x + 2} \right).\dfrac{4}{{\sqrt x + 2}}} = 2\sqrt 4 = 4\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \sqrt x + 2 + \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} - 2 \ge 2\\ \Rightarrow A \ge 2\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = \dfrac{4}{{\sqrt x + 2}} \Leftrightarrow {\left( {\sqrt x + 2} \right)^2} = 4\) \( \Leftrightarrow \sqrt x + 2 = 2\,\,\left( {Do\,\,\sqrt x + 2 \ge 2\,\,\forall x \ge 0,\,\,x \ne 1} \right)\).

\( \Leftrightarrow \sqrt x = 0 \Leftrightarrow x = 0\,\,\,\left( {tm} \right)\).

Vậy biểu thức \(P\) đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(2\) khi và chỉ khi \(x = 0\).

Quảng cáo

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link