Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab =

Câu hỏi số 540312:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\)

A. Giá trị lớn nhất là \(\dfrac{85}{4}\), giá trị nhỏ nhất là \(0\)

B. Giá trị lớn nhất là \(21\), giá trị nhỏ nhất là \(1\)

C. Giá trị lớn nhất là \(\dfrac{85}{4}\), giá trị nhỏ nhất là \(1\)

D. Giá trị lớn nhất là \(\dfrac{85}{4}\), giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540312

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương 2 bất đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \) và \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \) để tìm khoảng giá trị của \(ab\), viết \(P\) theo \(ab\), từ đó tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \(P\).

Giải chi tiết

Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\)

Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le 1\)

Lại có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 \ge - ab \Leftrightarrow ab \ge - 3\)

\( \Rightarrow - 3 \le ab \le 1\).

Xét \({a^2} + {b^2} = 3 - ab\) với \( - 3 \le ab \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = {\left( {3 - ab} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} = 9 - 6ab + {a^2}{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9\end{array}\)

Khi đó \(P = {a^4} + {b^4} - ab = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9 - ab\) \( = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \dfrac{{85}}{4} - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2}\)

Vì \( - 3 \le ab \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le ab + \dfrac{7}{2} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \le \dfrac{{81}}{4}\).

Suy ra \(P = \dfrac{{85}}{4} - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \ge \dfrac{{85}}{4} - \dfrac{{81}}{4} = 1 \Leftrightarrow P \ge 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \(ab = 1\) và \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;\,\,b = 1\\a = - 1;\,\,b = - 1\end{array} \right.\)

Ta lại có \(P = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) + 21\)

Mà \( - 3 \le ab \le 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}ab + 3 \ge 0\\ - ab - 4 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) \le 0 \Rightarrow P \le 21\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{a^2} + {b^2} + ab = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{\left( {a + b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = - \sqrt 3 \\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(21\); giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1.\)

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.