Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab =

Câu hỏi số 540312:

Vận dụng cao

Cho biểu thức \(P = {a^4} + {b^4} - ab,\) với \(a,\,\,b\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab = 3.\) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P.\)

A. Giá trị lớn nhất là \(\dfrac{85}{4}\), giá trị nhỏ nhất là \(0\)

B. Giá trị lớn nhất là \(21\), giá trị nhỏ nhất là \(1\)

C. Giá trị lớn nhất là \(\dfrac{85}{4}\), giá trị nhỏ nhất là \(1\)

D. Giá trị lớn nhất là \(\dfrac{85}{4}\), giá trị nhỏ nhất là \(\dfrac{1}{4}\)

Đáp án đúng là: B

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:540312

Phương pháp giải

Biến đổi tương đương 2 bất đẳng thức \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \) và \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \) để tìm khoảng giá trị của \(ab\), viết \(P\) theo \(ab\), từ đó tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của \(P\).

Giải chi tiết

Ta có \({a^2} + {b^2} + ab = 3 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 3 - ab\)

Ta thấy \({\left( {a - b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge 2ab \Leftrightarrow ab \le 1\)

Lại có \({\left( {a + b} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 - ab \ge - 2ab \Leftrightarrow 3 \ge - ab \Leftrightarrow ab \ge - 3\)

\( \Rightarrow - 3 \le ab \le 1\).

Xét \({a^2} + {b^2} = 3 - ab\) với \( - 3 \le ab \le 1\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {\left( {{a^2} + {b^2}} \right)^2} = {\left( {3 - ab} \right)^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} + 2{a^2}{b^2} = 9 - 6ab + {a^2}{b^2}\\ \Leftrightarrow {a^4} + {b^4} = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9\end{array}\)

Khi đó \(P = {a^4} + {b^4} - ab = - {a^2}{b^2} - 6ab + 9 - ab\) \( = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \dfrac{{85}}{4} - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2}\)

Vì \( - 3 \le ab \le 1 \Rightarrow \dfrac{1}{2} \le ab + \dfrac{7}{2} \le \dfrac{9}{2} \Leftrightarrow {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \le \dfrac{{81}}{4}\).

Suy ra \(P = \dfrac{{85}}{4} - {\left( {ab + \dfrac{7}{2}} \right)^2} \ge \dfrac{{85}}{4} - \dfrac{{81}}{4} = 1 \Leftrightarrow P \ge 1\).

Dấu “=” xảy ra khi \(ab = 1\) và \({a^2} + {b^2} = 2 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 1;\,\,b = 1\\a = - 1;\,\,b = - 1\end{array} \right.\)

Ta lại có \(P = - {\left( {ab} \right)^2} - 7ab + 9 = \left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) + 21\)

Mà \( - 3 \le ab \le 1\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}ab + 3 \ge 0\\ - ab - 4 < 0\end{array} \right.\) nên \(\left( {ab + 3} \right)\left( { - ab - 4} \right) \le 0 \Rightarrow P \le 21\).

Dấu “=” xảy ra khi \(\left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{a^2} + {b^2} + ab = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}ab = - 3\\{\left( {a + b} \right)^2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a = \sqrt 3 \\b = - \sqrt 3 \end{array} \right.\\\left[ \begin{array}{l}a = - \sqrt 3 \\b = \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right.\)

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) là \(21\); giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(1.\)

Đáp án cần chọn là: B

Tham Gia Group Dành Cho Học Sinh Lớp 9 - Ôn Thi Vào Lớp 10

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com . Học online tại nhà cũng giáo viên giỏi từ trường TOP đầu cả nước. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. Phụ huynh và học sinh tham khảo chi tiết khoá học tại: Link