Đánh giá năng lực Hà Nội
Đánh giá năng lực Hà Nội
Cho biểu thức P=a4+b4−ab,P=a4+b4−ab, với a,ba,b là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + ab =
Cho biểu thức P=a4+b4−ab,P=a4+b4−ab, với a,ba,b là các số thực thỏa mãn a2+b2+ab=3.a2+b2+ab=3. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P.P.
Đáp án đúng là: B
Quảng cáo
Biến đổi tương đương 2 bất đẳng thức (a−b)2≥0(a−b)2≥0 và (a+b)2≥0(a+b)2≥0 để tìm khoảng giá trị của abab, viết PP theo abab, từ đó tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của PP.
Ta có a2+b2+ab=3⇔a2+b2=3−aba2+b2+ab=3⇔a2+b2=3−ab
Ta thấy (a−b)2≥0⇔a2+b2≥2ab⇔3−ab≥2ab⇔ab≤1(a−b)2≥0⇔a2+b2≥2ab⇔3−ab≥2ab⇔ab≤1
Lại có (a+b)2≥0⇔a2+b2≥−2ab⇔3−ab≥−2ab⇔3≥−ab⇔ab≥−3(a+b)2≥0⇔a2+b2≥−2ab⇔3−ab≥−2ab⇔3≥−ab⇔ab≥−3
⇒−3≤ab≤1⇒−3≤ab≤1.
Xét a2+b2=3−aba2+b2=3−ab với −3≤ab≤1−3≤ab≤1
⇔(a2+b2)2=(3−ab)2⇔a4+b4+2a2b2=9−6ab+a2b2⇔a4+b4=−a2b2−6ab+9
Khi đó P=a4+b4−ab=−a2b2−6ab+9−ab =−(ab)2−7ab+9=854−(ab+72)2
Vì −3≤ab≤1⇒12≤ab+72≤92⇔(ab+72)2≤814.
Suy ra P=854−(ab+72)2≥854−814=1⇔P≥1.
Dấu “=” xảy ra khi ab=1 và a2+b2=2⇒[a=1;b=1a=−1;b=−1
Ta lại có P=−(ab)2−7ab+9=(ab+3)(−ab−4)+21
Mà −3≤ab≤1 nên {ab+3≥0−ab−4<0 nên (ab+3)(−ab−4)≤0⇒P≤21.
Dấu “=” xảy ra khi {ab=−3a2+b2+ab=3⇔{ab=−3(a+b)2=0⇔[{a=√3b=−√3[a=−√3b=√3
Vậy giá trị lớn nhất của P là 21; giá trị nhỏ nhất của P là 1.
Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí
>> Học trực tuyến Lớp 9 & Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com
>> Chi tiết khoá học xem: TẠI ĐÂY
Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.
 |
 |
 |
 |
 |
 |
Hỗ trợ - Hướng dẫn
-
024.7300.7989
-
1800.6947
(Thời gian hỗ trợ từ 7h đến 22h)
Email: lienhe@tuyensinh247.com
