Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(E = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{x} + \dfrac{{\sqrt {y - 2} }}{y} +

Câu hỏi số 540534:

Vận dụng cao

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(E = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{x} + \dfrac{{\sqrt {y - 2} }}{y} + \dfrac{{\sqrt {z - 3} }}{z}\) với \(x \ge 1,\,\,y \ge 2,\,\,z \ge 3\).

A. \(\dfrac{3}{2}\)

B. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\)

C. \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

D. \(1+ \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{\sqrt 3 }}\)

Đáp án đúng là: B

Giải chi tiết

BĐT Cô-si: \(a \ge 0,\,\,b \ge 0:\,\,\sqrt {ab} \le \dfrac{{a + b}}{2}\).

\(\begin{array}{l}*)\,\,\sqrt {x - 1} = \sqrt {1.\left( {x - 1} \right)} \le \dfrac{{1 + x - 1}}{2} = \dfrac{x}{2}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{x} \le \dfrac{1}{2}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}*)\,\,\sqrt {y - 2} = \dfrac{{\sqrt {2.\left( {y - 2} \right)} }}{{\sqrt 2 }} \le \dfrac{{2 + y - 2}}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{y}{{2\sqrt 2 }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {y - 2} }}{y} \le \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }}\end{array}\)

\(\begin{array}{l}*)\,\,\sqrt {z - 3} = \dfrac{{\sqrt {3\left( {z - 3} \right)} }}{{\sqrt 3 }} \le \dfrac{{3 + z - 3}}{2}.\dfrac{1}{{\sqrt 3 }} = \dfrac{z}{{2\sqrt 3 }}\\ \Rightarrow \dfrac{{\sqrt {z - 3} }}{z} \le \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\end{array}\)

\( \Rightarrow E = \dfrac{{\sqrt {x - 1} }}{x} + \dfrac{{\sqrt {y - 2} }}{y} + \dfrac{{\sqrt {z - 3} }}{z} \le \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\)

\( \Rightarrow MaxE = \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}1 = x - 1\\2 = y - 2\\3 = z - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 2\\y = 4\\z = 6\end{array} \right.\).

Vậy giá trị lớn nhất của E là \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{{2\sqrt 2 }} + \dfrac{1}{{2\sqrt 3 }}\) khi \(x = 2,\,\,y = 4,\,\,z = 6\).

Xem lời giải

Câu hỏi:540534

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.