Cho đường tròn \(\left( O \right)\) dây \(AB\). Gọi \(I\) là trung điểm của dây \(AB\), qua \(I\) kẻ

Câu hỏi số 540533:

Vận dụng cao

Cho đường tròn \(\left( O \right)\) dây \(AB\). Gọi \(I\) là trung điểm của dây \(AB\), qua \(I\) kẻ đường kính \(MN\) (\(M\) thuộc cung nhỏ \(AB\)), \(P\) là điểm bất kỳ trên tia đối của tia \(BA\) sao cho góc \(ANP\) khác \({90^0}\). Nối \(PN\) cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(E\). \(ME\) cắt \(AB\) tại \(D\).

1. Chứng minh \(DINE\) là tứ giác nội tiếp

2. Chứng minh \(MD.ME = MI.MN\).

3. Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(ME\), đường thẳng đó cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\). Chứng minh \(BE \bot NF\)

4. Tìm vị trí của \(P\) để \(D\) là trung điểm của \(BI\).

Giải chi tiết

1. Chứng minh \(DINE\) là tứ giác nội tiếp.

Xét \(\left( O \right):\,\,\angle NEM = {90^0}\) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

\(I\) là trung điểm dây \(AB \Rightarrow MN \bot AB\) tại \(I\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

\(\begin{array}{l} \Rightarrow \angle NID = {90^0}\\ \Rightarrow \angle NED + \angle NID = {180^0}\end{array}\)

Xét tứ giác \(DINE\) có : \(\angle NED + \angle NID = {180^0}\,\,\left( {cmt} \right)\)

Mà \(\angle NED\) và \(\angle NID\) là 2 góc đối nhau.

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(DINE\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).

2. Chứng minh \(MD.ME = MI.MN\).

Xét \(\Delta MID\) và \(\Delta MEN\):

\(\begin{array}{l}\angle NME\,\,chung\\\angle MID = \angle MEN = {90^0}\\ \Rightarrow \Delta MID \sim \Delta MEN\,\,\left( {g.g} \right)\end{array}\)

\( \Rightarrow \dfrac{{MI}}{{ME}} = \dfrac{{MD}}{{MN}}\) (định nghĩa 2 tam giác đồng dạng)

\( \Rightarrow MD.ME = MI.MN\,\,\left( {dpcm} \right)\).

3. Qua \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(ME\), đường thẳng đó cắt đường tròn \(\left( O \right)\) tại \(F\). Chứng minh \(BE \bot NF\).

\(MN\) là trung trực \(AB \Rightarrow MA = MB \Rightarrow cungMA = cungMB\)

\( \Rightarrow \angle AEM = \angle BEM\) (2 góc nội tiếp chắn 2 cung bằng nhau) (1)

Xét \(\left( O \right):\,\,\angle FNE = \angle FAE\) (2 góc nội tiếp cùng chắn cung \(FE\)) (2)

Ta có \(AF//ME\,\,\left( {gt} \right) \Rightarrow \angle FAE = \angle AEM\) (2 góc so le trong) (3)

Từ (1), (2), (3) \( \Rightarrow \angle FNE = \angle BED\).

Ta có \(\angle INE + \angle IDE = {180^0}\) (tứ giác \(DINE\) là tứ giác nội tiếp).

Mà \(\angle EDB + \angle IDE = {180^0}\) (2 góc kề bù)

\( \Rightarrow \angle INE = \angle EDB\).

Ta có: \(\angle INH + \angle IDH = \angle INE + \angle ENF + \angle DBE\)

Mà \(\angle INE = \angle EDB,\,\,\angle ENF = \angle BED\,\,\left( {cmt} \right)\)

\( \Rightarrow \angle INH + \angle IBH = \angle EDB + \angle BED + \angle DBE = {180^0}\) (tổng 3 góc của \(\Delta BDE\))

Mà \(\angle INH\) và \(\angle IBH\) là 2 góc đối nhau của tứ giác \(INHB\).

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(INHB\) là tứ giác nội tiếp (dhnb tgnt).

\( \Rightarrow \angle NHB + \angle NIB = {180^0}\) (tính chất tứ giác nội tiếp).

Mà \(\angle NIB = {90^0} \Rightarrow \angle NHB = {90^0} \Rightarrow BE \bot NF\,\,\left( {dpcm} \right)\).

4. Tìm vị trí của \(P\) để \(D\) là trung điểm của \(BI\).

Đặt \(BI = DI = a \Rightarrow IB = IA = 2a,\,\,AB = 4a\).

*) \(\Delta PED \sim \Delta PIN \Rightarrow \dfrac{{PE}}{{PI}} = \dfrac{{PD}}{{PN}} \Rightarrow PI.PD = PE.PN\,\,\left( 1 \right)\)

\(\Delta PBE \sim \Delta PNA \Rightarrow \dfrac{{PB}}{{PN}} = \dfrac{{PE}}{{PA}} \Rightarrow PB.PA = PE.PN\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1), (2) \( \Rightarrow PI.PD = PB.PA \Leftrightarrow \left( {PB + BI} \right).\left( {PB + BD} \right) = PB.\left( {PB + AB} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( {PB + 2a} \right)\left( {PB + a} \right) = PB\left( {PB + 4a} \right)\\ \Leftrightarrow P{B^2} + a.PB + 2a.PB + 2{a^2} = P{B^2} + 4a.PB\\ \Leftrightarrow a.PB = 2{a^2} \Leftrightarrow PB = 2a\\ \Rightarrow PI = BI\end{array}\)

\( \Leftrightarrow B\) là trung điểm của \(IP\).

Vậy để \(D\) là trung điểm của \(BI\) thì \(P\) thuộc tia đối của tia BA sao cho \(BP = BI\).

Xem lời giải

Câu hỏi:540533

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.