Thấu kính hội tụ có tiêu cự f, một điểm sáng S nằm cách thấu kính một khoảng d qua thấu

Câu hỏi số 550060:

Vận dụng cao

Thấu kính hội tụ có tiêu cự f, một điểm sáng S nằm cách thấu kính một khoảng d qua thấu kính cho ảnh thật S’ cách thấu kính một khoảng d’. Giữa d, d’, f có công thức liên hệ: \(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}}\).

1. Chứng minh công thức trên.

2. Đặt điểm sáng S trên trục chính \(\Delta \) của thấu kính hội tụ, một màn chắn M vuông góc với \(\Delta \); điểm sáng S và màn M luôn cố định và cách nhau một khoảng L = 45cm. Thấu kính có tiêu cự f = 20cm và có bán kính đường rìa r = OP = OQ = 4cm (O là quang tâm, P, Q là các điểm mép thấu kính), thấu kính có thể di chuyển trong khoảng từ S đến màn (hình vẽ).

a) Ban đầu thấu kính cách S một khoảng d = 20cm, trên màn M quan sát được một vết sáng tròn do chùm ló tạo ra. Tính bán kính vết sáng.

b) Dịch chuyển thấu kính lại gần màn M sao cho \(\Delta \) luôn luôn là trục chính của thấu kính thì kích thước vết sáng tròn thay đổi, người ta tìm được một vị trí thấu kính cho kích thước vết sáng trên màn là nhỏ nhất. Hãy xác định vị trí đó của thấu kính và bán kính của vết sáng nhỏ nhất tương ứng trên màn.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:550060

Phương pháp giải

Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng

Giải chi tiết

1. Ta có hình vẽ:

Xét \(\Delta S'{F_1}O \sim \Delta S'IS\) và \(\Delta S'{F_1}F \sim \Delta S'IO\) có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{S'O}}{{S'S}} = \dfrac{{S'{F_1}}}{{S'I}} = \dfrac{{S'F}}{{S'O}} \Rightarrow \dfrac{{S'O}}{{S'S}} = \dfrac{{S'F}}{{S'O}}\\ \Rightarrow \dfrac{{d'}}{{d + d'}} = \dfrac{{d' - f}}{{d'}} \Rightarrow d{'^2} = \left( {d + d'} \right)\left( {d' - f} \right)\\ \Rightarrow d{'^2} = dd' - df + d{'^2} - d'f\\ \Rightarrow dd' = d'f + df\,\,\left( 1 \right)\end{array}\)

Chia hai vế phương trình (1) cho dd’f, ta được:

\(\dfrac{1}{f} = \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{{d'}}\,\,\left( {dpcm} \right)\)

2. a) Nhận xét: \(d = f \to S \equiv F \to \) chùm tia ló ra khỏi thấu kính là chùm sáng song song

→ bán kính vết sáng là: \(r' = r = 4\,\,\left( {cm} \right)\)

b) Xét trường hợp vết sáng trên màn thu lại một điểm:

Xét \(\Delta S'{F_1}O \sim \Delta S'IS\) và \(\Delta S'{F_1}F \sim \Delta S'IO\) có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{S'O}}{{S'S}} = \dfrac{{S'F}}{{S'I}} = \dfrac{{S'F}}{{S'O}} \Rightarrow \dfrac{{S'O}}{{S'S}} = \dfrac{{S'F}}{{S'O}}\\ \Rightarrow \dfrac{{L - d}}{L} = \dfrac{{L - d - f}}{{L - d}}\,\,\left( 1 \right) \Rightarrow {\left( {L - d} \right)^2} = L\left( {L - d - f} \right)\\ \Rightarrow {L^2} - 2Ld + {d^2} = {L^2} - Ld - Lf\\ \Rightarrow {d^2} - Ld + Lf = 0\,\,\left( * \right)\end{array}\)

Xét \(\Delta = {L^2} - 4Lf\)

Dịch chuyển thấu kính để cho ảnh rõ nét trên màn → phương trình (*) có nghiệm

\( \Rightarrow \Delta \ge 0 \Rightarrow {L^2} - 4Lf \ge 0 \Rightarrow L \ge 4f\)

Theo đề bài ta có: \(L < 4f \to \) vết sáng trên màn không bao giờ thu lại một điểm

Khi thấu kính dịch chuyển từ S tới màn, các trường hợp có thể xảy ra là:

+ TH1: Khoảng cách từ thấu kính đến S: \(d < f \to \) ảnh qua thấu kính là ảnh ảo ở phía trước màn

→ chùm tia ló khỏi thấu kính là chùm phân kì, bán kính vùng sáng trên màn: \(r' > r\)

+ TH2: Điểm sáng S trùng tiêu điểm chính của thấu kính

→ chùm tia ló khỏi thấu kính là chùm song song, bán kính vùng sáng trên màn: \(r' = r\)

+ TH3: Khoảng cách từ thấu kính đến S: \(d > f \to \) ảnh S’ qua thấu kính là ảnh thật, nằm sau màn

Từ (1) ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{d'}}{{d + d'}} = \dfrac{{d' - f}}{{d'}} \Rightarrow d{'^2} = dd' - df + d{'^2} - d'f\\ \Rightarrow d'\left( {d - f} \right) = df \Rightarrow d' = \dfrac{{df}}{{d - f}}\end{array}\)

Xét \(\Delta S'AE \sim \Delta S'PO\) có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{{S'E}}{{S'O}} = \dfrac{{AE}}{{OP}} = \dfrac{{r'}}{r} \Rightarrow \dfrac{{r'}}{r} = \dfrac{{d + d' - L}}{{d'}} = 1 - \dfrac{{L - d}}{{d'}}\\ \Rightarrow \dfrac{{r'}}{r} = 1 - \dfrac{{\left( {L - d} \right)\left( {d - f} \right)}}{{df}} = 1 - \dfrac{{dL - {d^2} + df - Lf}}{{df}}\\ \Rightarrow \dfrac{{r'}}{r} = \left( {\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d}} \right) - \dfrac{L}{f}\end{array}\)

Để \(r{'_{\min }} \Rightarrow {\left( {\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d}} \right)_{\min }}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:

\(\begin{array}{l}\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d} \ge 2\sqrt {\dfrac{d}{f}.\dfrac{L}{d}} \\ \Rightarrow {\left( {\dfrac{d}{f} + \dfrac{L}{d}} \right)_{\min }} = 2\sqrt {\dfrac{L}{f}} \Leftrightarrow \dfrac{d}{f} = \dfrac{L}{d} \Rightarrow d = \sqrt {Lf} \\ \Rightarrow d = \sqrt {45.20} = 30\,\,\left( {cm} \right)\\ \Rightarrow \dfrac{{r{'_{\min }}}}{r} = 2\sqrt {\dfrac{L}{f}} - \dfrac{L}{f} = 2\sqrt {\dfrac{{45}}{{20}}} - \dfrac{{45}}{{20}} = \dfrac{3}{4}\\ \Rightarrow r{'_{\min }} = \dfrac{3}{4}r = \dfrac{3}{4}.4 = 3\,\,\left( {cm} \right)\end{array}\)

Vậy khi thấu kính cách điểm sáng S một đoạn 30 cm thì vết sáng trên màn có bán kính nhỏ nhất là 3cm.

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.