Tìm tất cả các số nguyên tố \(q\), sao cho tồn tại số nguyên dương \(n\) để \({n^2} + 22q\) là

Câu hỏi số 553518:

Vận dụng

Tìm tất cả các số nguyên tố \(q\), sao cho tồn tại số nguyên dương \(n\) để \({n^2} + 22q\) là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11.

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:553518

Phương pháp giải

Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Lập luôn tồn tại số nguyên và chứng minh.

Giải chi tiết

Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương \(n,\,k\) sao cho \({n^2} + 22q = {11^k}\). (1)

Do \({n^2} + 22q > 11\) nên \({11^k} > 11\); suy ra \(k \ge 2\). Vì thế, từ (1), ta có: \(\left( {{n^2} + 22q} \right) \vdots {11^2}\). (2)

Do \(22q \vdots 11\) nên từ (1) suy ra, \({n^2} \vdots 11\); mà 11 là số nguyên tố, nên \({n^2} \vdots {11^2}\). (3)

Từ (2) và (3) suy ra, \(22q \vdots {11^2}\). Do đó, \(q \vdots 11\); mà \(q\) là số nguyên tố nên \(q = 11\).

Ngược lại, với \(q = 11\), ta có: \({33^2} + 22.11 = {11^2}.\left( {9 + 2} \right) = {11^3}\).

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là \(q = 11\).

PH/HS 2K10 THAM GIA NHÓM ĐỂ CẬP NHẬT ĐIỂM THI, ĐIỂM CHUẨN MIỄN PHÍ!

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 và Lộ trình UP10 trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách: Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều. Lộ trình học tập 3 giai đoạn: Học nền tảng lớp 9, Ôn thi vào lớp 10, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả. PH/HS tham khảo chi tiết khoá học tại: Link