Tìm tất cả các số nguyên tố \(q\), sao cho tồn tại số nguyên dương \(n\) để \({n^2} + 22q\) là

Câu hỏi số 553518:

Vận dụng

Tìm tất cả các số nguyên tố \(q\), sao cho tồn tại số nguyên dương \(n\) để \({n^2} + 22q\) là một lũy thừa với số mũ nguyên dương của 11.

Xem lời giải

Câu hỏi:553518

Phương pháp giải

Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Lập luôn tồn tại số nguyên và chứng minh.

Giải chi tiết

Giả sử q là số nguyên tố thỏa mãn yêu cầu đề bài. Khi đó, sẽ tồn tại các số nguyên dương \(n,\,k\) sao cho \({n^2} + 22q = {11^k}\). (1)

Do \({n^2} + 22q > 11\) nên \({11^k} > 11\); suy ra \(k \ge 2\). Vì thế, từ (1), ta có: \(\left( {{n^2} + 22q} \right) \vdots {11^2}\). (2)

Do \(22q \vdots 11\) nên từ (1) suy ra, \({n^2} \vdots 11\); mà 11 là số nguyên tố, nên \({n^2} \vdots {11^2}\). (3)

Từ (2) và (3) suy ra, \(22q \vdots {11^2}\). Do đó, \(q \vdots 11\); mà \(q\) là số nguyên tố nên \(q = 11\).

Ngược lại, với \(q = 11\), ta có: \({33^2} + 22.11 = {11^2}.\left( {9 + 2} \right) = {11^3}\).

Vậy có duy nhất số q thỏa yêu cầu của đề bài là \(q = 11\).

Tham Gia Group 2K10 Ôn Thi Vào Lớp 10 Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Học trực tuyến lớp 9 & lộ trình Up 10! trên Tuyensinh247.com Đầy đủ khoá học các bộ sách (Kết nối tri thức với cuộc sống; Chân trời sáng tạo; Cánh diều), theo lộ trình 3: Nền Tảng, Luyện Thi, Luyện Đề. Bứt phá điểm lớp 9, thi vào lớp 10 kết quả cao. Hoàn trả học phí nếu học không hiệu quả.