Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Biết f(5) = 1 và \(\int\limits_0^1 {xf\left( {5x}

Câu hỏi số 554502:

Vận dụng

Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên $\mathbb{R}$ . Biết f(5) = 1 và $\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right)dx} = 1$ . Tính tích phân $\int\limits_0^1 {{x^2}f'\left( x \right)dx}$ .

A. I = 23

B. I = 15

I = \frac{123}{5}

$I = \dfrac{{123}}{5}$

D. I = -25

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554502

Phương pháp giải

- Đổi biến t = 5x.

- Sử dụng tích phân từng phần.

Giải chi tiết

Đặt $t = 5x \Rightarrow dt = 5dx$ .

Đổi cận: $\left\{ \begin{array}{l}x = 0 \Rightarrow t = 0\\x = 1 \Rightarrow t = 5\end{array} \right.$ .

Ta có: $\int\limits_0^1 {xf\left( {5x} \right)dx} = \dfrac{1}{5}\int\limits_0^5 {\dfrac{t}{5}f\left( t \right)dt} = \dfrac{1}{{25}}\int\limits_0^5 {xf\left( x \right)dx}$ .

Đặt $\left\{ \begin{array}{l}u = f\left( x \right)\\dv = xdx\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}du = f'\left( x \right)dx\\v = \dfrac{{{x^2}}}{2}\end{array} \right.$ .

$\begin{array}{l} \Rightarrow \dfrac{1}{{25}}\int\limits_0^5 {xf\left( x \right)dx} = \dfrac{1}{{25}}\left[ {\left. {\dfrac{{{x^2}}}{2}f\left( x \right)} \right|_0^5 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} } \right]\\ \Rightarrow 1 = \dfrac{1}{{25}}\left[ {\dfrac{{25}}{2}f\left( 5 \right) - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} } \right]\\ \Leftrightarrow 1 = \dfrac{1}{{25}}\left[ {\dfrac{{25}}{2}.1 - \dfrac{1}{2}\int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} } \right]\\ \Leftrightarrow \int\limits_0^5 {{x^2}f'\left( x \right)dx} = - 25\end{array}$

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.