Xét hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 5 \), \(\left| {{z_2}} \right| =

Câu hỏi số 554504:

Vận dụng cao

Xét hai số phức \({z_1},\,\,{z_2}\) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 5 \), \(\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10} \) và \(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {13} \). Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức \(P = \left| {2{z_1} - {z_2} + 7i} \right|\) là:

A. \({P_{\max }} = 7 + 2\sqrt {34} \)

B. \({P_{\max }} = 7 - \sqrt {34} \)

C. \({P_{\max }} = - 7 + 2\sqrt {34} \)

D. \({P_{\max }} = \sqrt {34} + 7\)

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554504

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức \({z_1},\,\, - {z_2}\), khi đó ta có \(OM = \sqrt 5 ,\,\,ON = \sqrt {10} \).

\(\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {13} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {13} \Rightarrow MN = \sqrt {13} \).

Gọi M’ là điểm biểu diễn số phức \(2{z_1}\) \( \Rightarrow OM' = 2OM = 2\sqrt 5 \) và \(\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM} \).

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OMN ta có: \(\cos \angle MON = \dfrac{{O{M^2} + O{N^2} - M{N^2}}}{{2OM.ON}} = \dfrac{{5 + 10 - 13}}{{2.\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}\).

Ta có: \(P = \left| {2{z_1} - {z_2} + 7i} \right| \le \left| {2{z_1} - {z_2}} \right| + \left| {7i} \right| = \left| {\overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} } \right| + 7\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} } \right|^2} = OM{'^2} + O{N^2} + 2.OM'.ON.\cos \angle MON\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 20 + 10 + 2.2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\dfrac{1}{{2\sqrt 5 }} = 34\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {34} \end{array}\)

Vậy \(P \le \sqrt {34} + 7\) hay \({P_{\max }} = \sqrt {34} + 7\).

Đáp án cần chọn là: D

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> 2K8 Chú ý! Lộ Trình Sun 2026 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi 26+ TN THPT, 90+ ĐGNL HN, 900+ ĐGNL HCM, 70+ ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com.Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, luyện thi theo 3 giai đoạn: Nền tảng lớp 12, Luyện thi chuyên sâu, Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.