Xét hai số phức ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 5$ , \(\left| {{z_2}} \right| =

Câu hỏi số 554504:

Vận dụng cao

Xét hai số phức ${z_1},\,\,{z_2}$ thỏa mãn $\left| {{z_1}} \right| = \sqrt 5$ , $\left| {{z_2}} \right| = \sqrt {10}$ và $\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {13}$ . Khi đó giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \left| {2{z_1} - {z_2} + 7i} \right|$ là:

${P_{\max }} = 7 + 2\sqrt {34}$

${P_{\max }} = 7 - \sqrt {34}$

${P_{\max }} = - 7 + 2\sqrt {34}$

${P_{\max }} = \sqrt {34} + 7$

Đáp án đúng là: D

Quảng cáo

Xem lời giải

Câu hỏi:554504

Phương pháp giải

Sử dụng phương pháp hình học.

Giải chi tiết

Gọi M, N lần lượt là các điểm biểu diễn số phức ${z_1},\,\, - {z_2}$ , khi đó ta có $OM = \sqrt 5 ,\,\,ON = \sqrt {10}$ .

$\left| {{z_1} + {z_2}} \right| = \sqrt {13} \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM} - \overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {13} \Rightarrow MN = \sqrt {13}$ .

Gọi M’ là điểm biểu diễn số phức $2{z_1}$ $\Rightarrow OM' = 2OM = 2\sqrt 5$ và $\overrightarrow {OM'} = 2\overrightarrow {OM}$ .

Áp dụng định lí Cosin trong tam giác OMN ta có: $\cos \angle MON = \dfrac{{O{M^2} + O{N^2} - M{N^2}}}{{2OM.ON}} = \dfrac{{5 + 10 - 13}}{{2.\sqrt 5 .\sqrt {10} }} = \dfrac{1}{{5\sqrt 2 }}$ .

Ta có: $P = \left| {2{z_1} - {z_2} + 7i} \right| \le \left| {2{z_1} - {z_2}} \right| + \left| {7i} \right| = \left| {\overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} } \right| + 7$ .

Ta có:

$\begin{array}{l}{\left| {\overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} } \right|^2} = OM{'^2} + O{N^2} + 2.OM'.ON.\cos \angle MON\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 20 + 10 + 2.2\sqrt 5 .\sqrt {10} .\dfrac{1}{{2\sqrt 5 }} = 34\\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OM'} + \overrightarrow {ON} } \right| = \sqrt {34} \end{array}$

Vậy $P \le \sqrt {34} + 7$ hay ${P_{\max }} = \sqrt {34} + 7$ .

Group 2K8 ôn Thi ĐGNL & ĐGTD Miễn Phí

Câu hỏi trước Câu tiếp theo

>> Lộ Trình Sun 2025 - 3IN1 - 1 lộ trình ôn 3 kì thi (Luyện thi TN THPT & ĐGNL; ĐGTD - Click xem ngay) tại Tuyensinh247.com. Đầy đủ theo 3 đầu sách, Thầy Cô giáo giỏi, 3 bước chi tiết: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng đáp ứng mọi kì thi.